# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
Największą wartością funkcji
(
)
4
2
2 +
x
y
w przedziale 3, 5 jest
A. 4
B. 3
C. 0
D. 5
Największą wartością funkcji y = -(x-2)^2 + 4 w przedziale <3,5> jest A. 4, B. 3, C. 0, D. 5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (wartość 3)

## Sposób 1 - Analiza funkcji na przedziale (postać kanoniczna)

Funkcja \(y = -(x-2)^2 + 4\) jest w **postaci kanonicznej** \(y = a(x-p)^2 + q\), gdzie:
- \(a = -1 < 0\) → parabola skierowana **ramionami w dół**
- wierzchołek: \(W = (2, 4)\) - to globalny **maksimum** funkcji

**Kluczowa obserwacja:** wierzchołek \(x = 2\) leży **poza** przedziałem \(\langle 3, 5 \rangle\) - jest po jego lewej stronie.

Ponieważ parabola otwarta w dół ma oś symetrii w \(x = 2\), a cały przedział \(\langle 3, 5 \rangle\) leży po prawej stronie osi - funkcja jest na tym przedziale **malejąca**.

> Wniosek: na przedziale \(\langle 3, 5 \rangle\) największa wartość jest w **lewym krańcu**, czyli w \(x = 3\).

Obliczamy:
\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = \mathbf{3}\]

Dla kontroli sprawdzamy prawy kraniec:
\[y(5) = -(5-2)^2 + 4 = -9 + 4 = -5\]

**Największa wartość funkcji na \(\langle 3, 5 \rangle\) wynosi \(3\).**

## Sposób 2 - Tabela wartości + argument z monotoniczności

Obliczamy wartości funkcji w kilku punktach przedziału:

| \(x\) | \(y = -(x-2)^2 + 4\) |
| \(3\) | \(-(1)^2 + 4 = 3\) |
| \(4\) | \(-(2)^2 + 4 = 0\) |
| \(5\) | \(-(3)^2 + 4 = -5\) |

Wartości maleją: \(3 > 0 > -5\). Maksimum na przedziale to \(\mathbf{3}\), osiągane dla \(x = 3\).

Dlaczego funkcja maleje? Pochodna:
\[y' = -2(x-2)\]
Dla \(x \in \langle 3, 5 \rangle\) mamy \(x - 2 > 0\), więc \(y' < 0\) - funkcja jest **ściśle malejąca** na tym przedziale.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:
\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \quad W = (p, q)\]
- Użyliśmy do odczytania wierzchołka \(W = (2, 4)\) i współczynnika \(a = -1\) (parabola skierowana w dół).
- Wiedząc, że wierzchołek leży poza przedziałem i parabola maleje na prawo od osi symetrii, znaleźliśmy maksimum w lewym krańcu.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A (\(0\)) | Uczeń oblicza \(y(4) = -(4-2)^2 + 4 = 0\) i bierze tę wartość jako wynik, nie szukając maksimum |
| B (\(5\)) | Uczeń myli wartość \(x\) (prawy kraniec przedziału) z wartością funkcji \(y\) |
| C (\(4\)) | Uczeń podaje wartość w wierzchołku \(W = (2, 4)\), ale wierzchołek \(x = 2\) **leży poza przedziałem** \(\langle 3, 5 \rangle\)! |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek paraboli to maksimum/minimum **globalne**, ale pytanie dotyczy **przedziału** - najpierw sprawdź, czy wierzchołek w ogóle do niego należy!

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, ekstremalną wartość osiągamy w jednym z **krańców** - zawsze sprawdź oba.

> ⚠️ **Uwaga:** Dla \(a < 0\) parabola jest skierowana w dół i maleje po prawej stronie osi symetrii - im dalej od wierzchołka w prawo, tym wartości funkcji **mniejsze**.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Analiza paraboli
Wierzchołek paraboli to \((2, 4)\), ramiona skierowane w dół (bo \(a = -1 < 0\)). Ponieważ \(2 \notin \langle 3, 5\rangle\), i funkcja maleje dla \(x > 2\), maksimum na przedziale osiągane jest w lewym końcu: \(x = 3\):
\[y(3) = -(3-2)^2 + 4 = -1 + 4 = 3.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie końców przedziału
- \(y(3) = -(1)^2 + 4 = 3\)
- \(y(5) = -(3)^2 + 4 = -5\)
Monotoniczność malejąca → maksimum w \(x=3\), wartość 3.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 0** - to nie wartość z tego przedziału.
- **B. 5** - za duża, przekracza max funkcji \((=4)\).
- **C. 4** - globalne maksimum funkcji (wierzchołek), ale wierzchołek nie należy do przedziału \(\langle 3,5\rangle\).

**Trik:** Gdy wierzchołek poza przedziałem, maksimum leży w jednym z końców.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_