# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 13. (0-1)
Ciąg arytmetyczny
, określony dla
1
n ≥, spełnia warunek
3
4
5
15
a
a
a
Wtedy
A.
4
5
a =
B.
4
6
a =
C.
4
3
a =
D.
4
4
a =
Ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla n≥1, spełnia warunek a_3 + a_4 + a_5 = 15. Wtedy A. a_4 = 5; B. a_4 = 6; C. a_4 = 3; D. a_4 = 4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(a_4 = 5\)

## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu

W ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów równa się trzykrotności **środkowego** wyrazu. Dlaczego? Bo wyrazy "po bokach" są symetrycznie odległe od środkowego:

\[a_3 = a_4 - r, \quad a_5 = a_4 + r\]

Zatem:

\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_4 - r) + a_4 + (a_4 + r)\]

\[= 3a_4\]

Z warunku zadania:

\[3a_4 = 15\]

\[\boxed{a_4 = 5}\]

## Sposób 2 - Przez wzór ogólny

Wyrażamy każdy wyraz przez \(a_1\) i różnicę \(r\):

\[a_3 = a_1 + 2r, \quad a_4 = a_1 + 3r, \quad a_5 = a_1 + 4r\]

Sumujemy:

\[(a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) = 15\]

\[3a_1 + 9r = 15\]

\[a_1 + 3r = 5\]

Ale \(a_1 + 3r = a_4\), więc:

\[\boxed{a_4 = 5}\]

Ten sposób nie wymaga znania konkretnych wartości \(a_1\) ani \(r\) - wystarczy sama suma.

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

\[a_n = a_1 + (n-1)r\]

Użyliśmy go w Sposobie 2 do zapisania wyrazów \(a_3, a_4, a_5\).

Kluczowa własność (wynikająca wprost z definicji, ale warta zapamiętania):

\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\]

czyli środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów - to właśnie wykorzystaliśmy w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B: \(a_4 = 6\) | Pomylono liczbę wyrazów: podzielono 15 przez 2 (liczba "skrajnych" wyrazów) zamiast przez 3 |
| C: \(a_4 = 3\) | Przyjęto \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\) i błędnie obliczono \(a_4 = \frac{15}{5}\) (podzielono przez indeksy) |
| D: \(a_4 = 4\) | Przyjęto bez uzasadnienia \(a_3 = a_4 = a_5 = 4\) lub pomylono indeksy (np. wzięto \(a_4 = a_3 + 1\)) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Suma **trzech** kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to zawsze \(3 \cdot a_{\text{środkowy}}\). Nie "suma skrajnych plus środkowy" - zapamiętaj: środkowy "niesie" całą trójkę.

> ⚠️ **Uwaga:** Z warunku \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\) można wyznaczyć tylko \(a_4\) - nie znamy \(a_1\) ani \(r\) oddzielnie. To nie błąd w zadaniu, to celowy zamysł: jedna równanie, jedna niewiadoma.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić tej własności z sumą \(S_n\) z karty wzorów. Tutaj nie liczymy sumy całego ciągu, tylko trzech konkretnych wyrazów.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego
W ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. Stąd \(a_3 + a_5 = 2a_4\), więc:
\[a_3 + a_4 + a_5 = 2a_4 + a_4 = 3a_4 = 15 \;\Longrightarrow\; a_4 = 5.\]

### Sposób 2 - Wzór ogólny
\(a_n = a_1 + (n-1)r\). Zatem:
\[a_3 + a_4 + a_5 = (a_1+2r) + (a_1+3r) + (a_1+4r) = 3a_1 + 9r = 3(a_1 + 3r) = 3a_4 = 15.\]
Stąd \(a_4 = 5\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. 6** - \(3\cdot 6 = 18 \neq 15\).
- **C. 3** - \(3\cdot 3 = 9 \neq 15\).
- **D. 4** - \(3\cdot 4 = 12 \neq 15\).

**Trik:** Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego = \(3 \times\) środkowy wyraz.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Dla ciągu arytmetycznego ( ) na , określonego dla 1 n ≥, jest spełniony warunek 4 5 6 12 a a a Wtedy A. 5 4 a = B. 5 3 a = C. 5 6 a = D. 5 5 a
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na określony wzorem 1 2 16 na n ⋅ dla każdej liczby całkowitej 1 n ≥. Różnica r tego ciągu jest równa A. 16 r 
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13) — Zadanie 13. (1 pkt) Ciąg arytmetyczny ( ) na jest określony wzorem 1 2 - = n an dla 1 ≥ n . Różnica tego ciągu jest równa A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 y x 1 1 2 3 4 0 2 
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-p0-100-a-2405/zad/17) — Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = \(2^{n-1}\) , dla każdej liczby naturalnej \(n\geq\) 1 . Iloraz tego ciągu jest równy A. \(\dfrac{1}{2}\) B. \

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_