# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 14. (0-1)
Dla pewnej liczby x ciąg (
)
,
4,16
x x +
jest geometryczny. Liczba x jest równa
A. 8
B. 4
C. 2
D. 0
Dla pewnej liczby x ciąg (x,x+4,16) jest geometryczny. Liczba x jest równa A. 8; B. 4; C. 2; D. 0.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (x = 4)

## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi skrajnych wyrazów:
\[(a_2)^2 = a_1 \cdot a_3\]

Mamy ciąg \((x,\; x+4,\; 16)\), więc:
\[(x+4)^2 = x \cdot 16\]

Rozwijamy lewą stronę:
\[x^2 + 8x + 16 = 16x\]

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\[x^2 + 8x + 16 - 16x = 0\]
\[x^2 - 8x + 16 = 0\]

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[(x - 4)^2 = 0\]
\[\mathbf{x = 4}\]

## Sposób 2 - Przez iloraz ciągu

W ciągu geometrycznym stosunek każdego wyrazu do poprzedniego jest stały (równy ilorazowi \(q\)):
\[\frac{x+4}{x} = \frac{16}{x+4}\]

Przemnażamy na krzyż:
\[(x+4)^2 = 16x\]

Otrzymujemy tę samą równanie co w Sposobie 1, więc \(x = 4\).

**Sprawdzenie:** Podstawiamy \(x = 4\):
\[(4,\; 8,\; 16)\]

Iloraz: \(\frac{8}{4} = 2\) i \(\frac{16}{8} = 2\) ✓ - rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie \(q = 2\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:
\[(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad \text{(dla } n \geq 2\text{)}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie do ustawienia równania.

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Rozpoznanie tego wzoru pozwoliło od razu zapisać \(x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2\) i natychmiast odczytać wynik.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. 8 | Uczeń sprawdza ciąg \((8, 12, 16)\) - różnice są stałe (\(+4\)), ale to **ciąg arytmetyczny**, nie geometryczny. Pomylenie arytmetycznego z geometrycznym. |
| C. 2 | Uczeń wstawia \(x = 2\) i sprawdza \((2, 6, 16)\) - ilorazy \(3\) i \(\frac{8}{3}\) są różne, ciąg nie jest geometryczny. Typowy błąd z niepoprawnym rozwiązaniem równania kwadratowego. |
| D. 0 | Uczeń bierze \(x = 0\) - ciąg \((0, 4, 16)\) nie jest geometryczny, bo \(\frac{4}{0}\) jest niezdefiniowane (nie można dzielić przez zero). |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myląć ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Odpowiedź A (\(x=8\)) daje ciąg \((8,12,16)\) o stałej różnicy \(4\) - to ciąg **arytmetyczny**. W geometrycznym warunek to stały **iloraz**, nie różnica.

> ⚠️ **Uwaga:** Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego musi być **niezerowy** - dlatego \(x = 0\) od razu odpada, zanim zaczniemy liczyć.

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \((x+4)^2 = 16x\) to równanie kwadratowe - może mieć dwa rozwiązania. Zawsze sprawdź oba pod kątem dziedziny (czy żaden wyraz ciągu nie jest zerem).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich:
\[(x+4)^2 = x\cdot 16\]
\[x^2 + 8x + 16 = 16x\]
\[x^2 - 8x + 16 = 0\]
\[(x-4)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4.\]
Sprawdzenie: ciąg \((4, 8, 16)\) ma iloraz \(q = 2\) ✓.

### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
- Dla \(x = 4\): \((4, 8, 16)\), iloraz \(8/4 = 2\), \(16/8 = 2\) - ciąg geometryczny ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 8** - \((8, 12, 16)\): \(12/8 = 1{,}5\), \(16/12 \approx 1{,}33\) - różne.
- **C. 2** - \((2, 6, 16)\): \(6/2 = 3\), \(16/6 \neq 3\) - różne.
- **D. 0** - \((0, 4, 16)\): \(x = 0\) powoduje zerowy pierwszy wyraz - ciąg geometryczny musi mieć wszystkie wyrazy niezerowe.

**Trik:** W ciągu geometrycznym \(a, b, c\): \(b^2 = a\cdot c\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_