# Matematyka — zadanie 15 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/15 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Trygonometria, planimetria ## Treść Zadanie 15. (0-1) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa 3 . Zatem A. ° = 60 α B. ( )° ° ∈ 60 , 40 α C. ( )° ° ∈ 40 , 30 α D. ° = 30 α ( ) na MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 3, a długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α jest równa √3. Zatem A. α = 60°; B. α ∈ (40°,60°); C. α ∈ (30°,40°); D. α = 30°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(\alpha \in (30°, 40°)\) ## Sposób 1 - Sinus z definicji i porównanie z wartościami tablicowymi **Co wiemy?** Mamy trójkąt prostokątny, w którym: - przeciwprostokątna \(c = 3\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \(\alpha\) wynosi \(\sqrt{3}\) **Krok 1.** Stosujemy definicję sinusa w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] **Krok 2.** Upraszczamy: \[\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1{,}732}{3} \approx 0{,}577\] **Krok 3.** Porównujemy z wartościami tablicowymi: \[\sin 30° = 0{,}5\] \[\sin 40° \approx 0{,}643\] Ponieważ \(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\), mamy: \[30° < \alpha < 40°\] **Zatem \(\alpha \in (30°, 40°)\).** ✓ ## Sposób 2 - Tangens (po wyznaczeniu drugiej przyprostokątnej) **Krok 1.** Wyznaczamy drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2 \implies (\sqrt{3})^2 + b^2 = 3^2\] \[3 + b^2 = 9 \implies b^2 = 6 \implies b = \sqrt{6}\] **Krok 2.** Obliczamy tangens kąta \(\alpha\): \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\] **Krok 3.** Porównujemy z tablicą: \[\operatorname{tg} 35° \approx 0{,}700\] \[\operatorname{tg} 36° \approx 0{,}727\] Ponieważ \(\operatorname{tg} 35° < 0{,}707 < \operatorname{tg} 36°\), mamy \(35° < \alpha < 36°\), co leży w przedziale \((30°, 40°)\). ✓ Oba sposoby dają ten sam wniosek. ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{a}{c}\] gdzie \(a\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \(\alpha\), \(c\) - przeciwprostokątna. Użyliśmy tego w Sposobie 1. **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej. **Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - odczytanie wartości \(\sin\) i \(\operatorname{tg}\) dla kątów \(30°, 40°, 35°, 36°\) w celu ustalenia przedziału. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A (\(\alpha = 60°\)) | Uczeń myli \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) z \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) - gdyby przyprostokątna wynosiła \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\), wtedy faktycznie \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha = 60°\) | | B (\(\alpha \in (40°, 60°)\)) | Błędne obliczenie \(\sin\alpha\); uczeń może zaokrąglić \(\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58\) do \(0{,}6\) i sądzić, że to powyżej \(\sin 40°\) - tymczasem \(\sin 40° \approx 0{,}643 > 0{,}58\) | | D (\(\alpha = 30°\)) | Uczeń zapamiętał, że \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) i skojarzył to z liczbą \(\sqrt{3}\) w liczniku; ale \(\sin 30° = \frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\) | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) to **nie to samo** co \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Pierwsza wartość to \(\approx 0{,}577\), druga to \(\approx 0{,}866\). Nie skracaj pochopnie! > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(30°\) daje \(\sin 30° = 0{,}5\), a nie \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Sprawdź tabelę na s. 34 karty wzorów - nie polegaj na pamięci. > ⚠️ **Uwaga:** Jeśli zadanie pyta o **przedział**, to nie wystarczy sprawdzić wartości na krańcach - musisz upewnić się, że Twoja wartość leży **ściśle wewnątrz** tego przedziału (tu: \(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\), co potwierdza \((30°, 40°)\)). **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Definicja sinusa Z definicji sinusa (karta wzorów, Dział 8): \[\sin\alpha = \tfrac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577.\] Z tablic: \(\sin 30^{\circ} = 0{,}5\), \(\sin 40^{\circ} \approx 0{,}643\). Ponieważ \(0{,}5 < 0{,}577 < 0{,}643\), więc \(\alpha \in (30^{\circ}, 40^{\circ})\). ### Sposób 2 - Porównanie z wartościami specjalnymi \(\sin 30^{\circ} = \tfrac{1}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\), czyli \(\tfrac{\sqrt{3}}{3} > \tfrac{1}{2}\), bo \(\tfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 > 0{,}5\). Zatem \(\alpha > 30^{\circ}\). Z drugiej strony \(\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 > 0{,}577\), więc \(\alpha < 60^{\circ}\). Precyzyjniej: \(\alpha \approx 35^{\circ}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 60°** - \(\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), ale \(\sin\alpha = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\). - **B. \((40°, 60°)\)** - \(\sin 40^{\circ} \approx 0{,}643 > 0{,}577\), więc \(\alpha < 40^{\circ}\). - **D. 30°** - \(\sin 30^{\circ} = 0{,}5 \neq 0{,}577\). **Trik:** \(\tfrac{\sqrt{3}}{3} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\) - zapamiętaj przybliżenie. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/15) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F15) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>. - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_