# Matematyka — zadanie 16

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/16
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(cos\alpha\) = . Wtedy 5 16 15

A. \(\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{16}{15}\)
B. \(\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{15}{16}\)
C. \(\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{8}{15}\)
D. \(\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{6}{20}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\(\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{16}{15}\)

## Sposób 1 - wyznaczenie sin i tg ze wzorów trygonometrycznych

**Krok 1: Wyznaczymy \(\sin\alpha\)** z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
\[\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]
\[\sin\alpha = \frac{4}{5}\]

(Bierzemy wartość dodatnią, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym, więc \(\sin\alpha > 0\).)

**Krok 2: Wyznaczymy \(\operatorname{tg}\alpha\).**

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}\]

**Krok 3: Obliczamy iloczyn.**

\[\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \boxed{\frac{16}{15}}\]

## Sposób 2 - trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)

Skoro \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\), to w trójkącie prostokątnym:
- przyprostokątna przyległa do kąta \(\alpha\): \(b = 3\)
- przeciwprostokątna: \(c = 5\)
- druga przyprostokątna (z Pitagorasa): \(a = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\)

Stąd bezpośrednio:
\[\sin\alpha = \frac{a}{c} = \frac{4}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\]

\[\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{15}\]

Wynik ten sam - **odpowiedź A**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**

Jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \(\sin\alpha\).

Definicja tangensa:
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]
Użyta do wyznaczenia \(\operatorname{tg}\alpha\) ze znanych \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

Definicje z trójkąta prostokątnego (Sposób 2):
\[\sin\alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej wartości |
| B | Odwrócono ułamek: \(\frac{15}{16}\) zamiast \(\frac{16}{15}\) - np. pomylono licznik z mianownikiem przy obliczaniu \(\operatorname{tg}\alpha\) |
| C | Policzono \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{25}\) albo wzięto \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{5}\) (odwrócono role boków) |
| D | Błędne uproszczenie: \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) nie wynika z żadnego sensownego rachunku - może efekt dodawania zamiast mnożenia lub wzięcia \(\cos\alpha \cdot \frac{2}{4}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \(\sin\alpha\) z jedynki trygonometrycznej otrzymujesz \(\sin^2\alpha = \frac{16}{25}\), a więc \(\sin\alpha = \pm\frac{4}{5}\). Pamiętaj - skoro \(\alpha\) jest **kątem ostrym** (mieści się w I ćwiartce), wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Wybierasz \(+\frac{4}{5}\).

> ⚠️ **Uwaga:** \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), a **nie** \(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). To odwrotność to \(\operatorname{ctg}\alpha\). Pomylenie tych dwóch prowadzi prosto do odpowiedzi B.

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(\frac{16}{15} > 1\) nie powinien Cię niepokoić - \(\operatorname{tg}\alpha\) i iloczyn \(\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha\) mogą być większe od 1, w przeciwieństwie do samego \(\sin\alpha\) czy \(\cos\alpha\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
Ze wzoru \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) (karta wzorów, Dział 8):
\[\sin^2\alpha = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25} \;\Longrightarrow\; \sin\alpha = \tfrac{4}{5}.\]
\[\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tfrac{4/5}{3/5} = \tfrac{4}{3}.\]
\[\sin\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \tfrac{4}{5}\cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{16}{15}.\]

### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
Z \(\cos\alpha = \tfrac{3}{5}\) rozumiemy przyprostokątną przyległą = 3, przeciwprostokątną = 5. Pitagoras: druga przyprostokątna = \(\sqrt{25-9} = 4\). Stąd \(\sin\alpha = \tfrac{4}{5}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{4}{3}\), iloczyn = \(\tfrac{16}{15}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{15}{16}\)** - odwrotność poprawnej odpowiedzi.
- **C. \(\tfrac{8}{15}\)** - \(\sin\alpha = \tfrac{4}{5}\), \(\cos\alpha = \tfrac{3}{5}\), ale iloczyn \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \tfrac{12}{25}\) ani to.
- **D. \(\tfrac{6}{20}\)** - nieprawdziwy wynik z pomieszanymi wartościami.

**Trik:** Trójka \(3\)-\(4\)-\(5\) jest klasycznym pitagorejskim rozwiązaniem.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/16)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F16)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_