# Matematyka — zadanie 17 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/17 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 16. (0-1) Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek 111 α β ° . Wynika stąd, że A. 74 α = ° B. 76 α = ° C. 70 α = ° D. 72 α = ° Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że A. α = 74°; B. α = 76°; C. α = 70°; D. α = 72°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(\beta = 38°\) ## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym **Kluczowa obserwacja:** Kąt \(\alpha = \angle KSL\) to **kąt środkowy** (wierzchołek w środku okręgu S), a kąt \(\beta = \angle KML\) to **kąt wpisany** (wierzchołek M leży na okręgu). Oba kąty są oparte na tym samym łuku \(KL\). Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym: \[\alpha = 2\beta\] *(kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany oparty na tym samym łuku)* Podstawiamy do warunku z zadania \(\alpha + \beta = 114°\): \[2\beta + \beta = 114°\] \[3\beta = 114°\] \[\boxed{\beta = 38°}\] Sprawdzenie: \(\alpha = 2 \cdot 38° = 76°\), zatem \(\alpha + \beta = 76° + 38° = 114°\) ✓ ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie Sprawdzamy, czy \(\beta = 38°\) spełnia oba warunki zadania: 1. **Warunek z zadania:** \(\alpha + \beta = 114°\), co daje \(\alpha = 114° - 38° = 76°\) 2. **Warunek geometryczny** (kąt środkowy = 2 · kąt wpisany): \[\frac{\alpha}{\beta} = \frac{76°}{38°} = 2 \checkmark\] Oba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: > Kąt wpisany w okrąg równa się połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. \[\text{kąt wpisany} = \frac{1}{2} \cdot \text{kąt środkowy}\] czyli: \[\beta = \frac{\alpha}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha = 2\beta\] Użyliśmy tego wprost, by wyrazić \(\alpha\) przez \(\beta\) i rozwiązać układ. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **A** \(\beta = 19°\) | Przyjęto \(\alpha = 4\beta\) zamiast \(\alpha = 2\beta\) (podwójny błąd skali) | | **C** \(\beta = 57°\) | Przyjęto \(\alpha = \beta\) (kąty równe zamiast środkowy = 2 · wpisany), wtedy \(2\beta = 114°\), \(\beta = 57°\) | | **D** \(\beta = 76°\) | Zamiana ról - uczeń wyznaczył \(\alpha\) zamiast \(\beta\), albo przyjął \(\beta = \frac{2}{3} \cdot 114°\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek „kąt wpisany = połowa środkowego" działa tylko, gdy **oba kąty są oparte na tym samym łuku** - tu oba oparte na łuku \(KL\), więc jest OK. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest środkowy, a który wpisany. Zapamiętaj: środkowy ma wierzchołek w **środku** okręgu (punkt S), wpisany ma wierzchołek **na okręgu** (punkt M). > ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \(\beta\) (kąt wpisany), a wielu uczniów błędnie podaje \(\alpha = 76°\) jako odpowiedź - to wartość kąta środkowego, nie żądanego \(\beta\). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym Kąt środkowy \(\alpha = \angle KSL\) i kąt wpisany \(\beta = \angle KML\) oparte są na tym samym łuku \(KL\). Z twierdzenia (karta wzorów, Dział 7): \[\alpha = 2\beta.\] Z warunku: \(\alpha + \beta = 114^{\circ}\). Podstawiamy: \[2\beta + \beta = 114^{\circ} \;\Longrightarrow\; 3\beta = 114^{\circ} \;\Longrightarrow\; \beta = 38^{\circ}.\] ### Sposób 2 - Podstawienie \(\alpha = 76^{\circ}\) Sprawdzenie: \(\alpha = 2\cdot 38^{\circ} = 76^{\circ}\). Suma: \(76^{\circ} + 38^{\circ} = 114^{\circ}\) ✓. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 19°** - ktoś podzielił 114° przez 6 zamiast przez 3. - **C. 57°** - to połowa 114° (błędne: zamiana ról \(\alpha\) i \(\beta\)). - **D. 76°** - to \(\alpha\), nie \(\beta\). **Trik:** Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/17) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F17) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_