# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Planimetria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 18. (0-1)
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80° . Kąt
rozwarty tego równoległoboku ma miarę
A. 120°
B. 125°
C. 130°
D. 135°
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 80°. Kąt rozwarty tego równoległoboku ma miarę A. 120°; B. 125°; C. 130°; D. 135°.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(130°\)

## Sposób 1 - układ równań z właściwości równoległoboku

**Kluczowa właściwość:** W równoległoboku sąsiednie kąty wewnętrzne są suplementarne, czyli sumują się do \(180°\).

Oznaczmy kąt ostry jako \(\alpha\), kąt rozwarty jako \(\beta\).

Warunek 1 - kąty suplementarne:
\[\alpha + \beta = 180°\]

Warunek 2 - różnica kątów równa \(80°\):
\[\beta - \alpha = 80°\]

Dodajemy oba równania stronami:
\[2\beta = 260°\]
\[\beta = 130°\]

**Kąt rozwarty wynosi \(130°\).**

(Sprawdzenie: \(\alpha = 180° - 130° = 50°\), różnica: \(130° - 50° = 80°\) ✓)

## Sposób 2 - rozumowanie wprost

Skoro sąsiednie kąty sumują się do \(180°\), a jeden jest większy od drugiego o \(80°\), to kąt rozwarty jest o połowę tej różnicy większy od prostego \(90°\):

\[\beta = 90° + \frac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°\]

**Dlaczego to działa?** Gdyby oba kąty były równe, każdy wynosiłby \(90°\). Skoro jeden jest większy o \(80°\), to "dokładamy" połowę tej różnicy do górnego i odejmujemy połowę od dolnego:
\[\beta = 90° + 40° = 130°, \quad \alpha = 90° - 40° = 50°\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - własność równoległoboku:

> Kąty sąsiednie w równoległoboku są suplementarne: \(\alpha + \beta = 180°\)

Użyliśmy tego w obu sposobach jako podstawowego warunku układu.

W tym zadaniu nie potrzebujemy innych wzorów z karty - wystarczy znajomość definicji kątów wewnętrznych równoległoboku.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A - \(120°\) | Uczeń przyjął, że różnica = \(60°\) (pomylił z trójkątem równobocznym) lub odjął \(80°\) od \(180°\) i wziął środek: \(\frac{180°+80°}{2}\) po błędnym przestawieniu |
| B - \(125°\) | Obliczenie \(\frac{180°+80°}{2} = 130°\) wykonane poprawnie, ale błąd arytmetyczny: \(260 \div 2 = 125\) (pomylono \(260\) z \(250\)) |
| D - \(135°\) | Uczeń zastosował sumę kątów \(360°\) zamiast \(180°\): \(\frac{360°}{2} + 40° = 180° + 40°\) - błędna podstawa |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kąty **sąsiednie** (nie naprzeciwległe!) sumują się do \(180°\). Kąty naprzeciwległe w równoległoboku są **równe** - to częste źródło pomyłek.

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o kąt **rozwarty** (większy od \(90°\)). Po obliczeniu obu kątów (\(50°\) i \(130°\)) upewnij się, że wybierasz właściwy.

> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \(\beta - \alpha = 80°\) - uważaj na kolejność odejmowania. Zawsze odejmuj mniejszy od większego, żeby różnica była dodatnia.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Układ równań
Niech \(\alpha\) i \(\beta\) to sąsiednie kąty, \(\alpha > \beta\). W równoległoboku \(\alpha + \beta = 180^{\circ}\) (kąty jednostronne) i dane \(\alpha - \beta = 80^{\circ}\):
\[\begin{cases} \alpha + \beta = 180^{\circ} \\ \alpha - \beta = 80^{\circ} \end{cases}\]
Dodając: \(2\alpha = 260^{\circ}\), stąd \(\alpha = 130^{\circ}\), \(\beta = 50^{\circ}\). Kąt rozwarty to \(\alpha = 130^{\circ}\).

### Sposób 2 - Bezpośrednie rozumowanie
Suma = 180°, różnica = 80°, więc większy kąt = \(\tfrac{180+80}{2} = 130^{\circ}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 120°** - dałoby różnicę 60°, nie 80°.
- **B. 125°** - różnica 70°, nie 80°.
- **D. 135°** - różnica 90°, nie 80°.

**Trik:** W równoległoboku sąsiednie kąty sumują się do 180°. Z sumy i różnicy wyznaczamy bezpośrednio.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_