# Matematyka — zadanie 19 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/19 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 19. (0-1) Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze ° 60 jest równe A. 18 B. 9 C. 3 18 D. 3 9 Pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie między nimi o mierze 60° jest równe A. 18; B. 9; C. 18; D. 9√3. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(9\sqrt{3}\) ## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta **Znamy:** dwa boki \(a = 4\), \(b = 9\) oraz kąt między nimi \(\gamma = 60°\). Stosujemy wzór: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma\] Podstawiamy: \[P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot \sin 60°\] Z tablicy wartości: \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc: \[P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[P = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = \mathbf{9\sqrt{3}}\] ## Sposób 2 - Przez wysokość trójkąta Traktujemy bok \(b = 9\) jako podstawę. Wyznaczamy wysokość opuszczoną na ten bok z wierzchołka naprzeciwległego. Bok \(a = 4\) tworzy kąt \(60°\) z bokiem \(b = 9\). Wysokość \(h\) to: \[h = a \cdot \sin\gamma = 4 \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\] Teraz liczymy pole: \[P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{18\sqrt{3}}{2} = \mathbf{9\sqrt{3}}\] Wynik zgodny - odpowiedź **D**. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi: \[P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\] Dokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1. **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość sinusa kąta \(60°\): \[\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Kluczowe do podstawienia - bez tej wartości nie da się dokończyć obliczeń. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A - \(18\) | Zapomniano o mnożniku \(\frac{1}{2}\) w wzorze na pole: liczono \(4 \cdot 9 \cdot \sin 60°\) zamiast \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot \sin 60°\). Wyszło \(18\sqrt{3}\), a potem błędnie uproszczono \(\sqrt{3} \approx 1\). | | B - \(9\) | Wstawiono \(\sin 60° = 1\) (czyli wzięto kąt \(90°\) zamiast \(60°\)) i policzono \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot 1 = 18\) albo zgubiono jeden czynnik. | | C - \(18\sqrt{3}\) | Zapomniano o \(\frac{1}{2}\) we wzorze: \(4 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\). To bardzo typowy błąd - opuszczenie czynnika \(\frac{1}{2}\) ze wzoru na pole. | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \(\frac{1}{2}\) we wzorze \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\). Efekt: wynik dwa razy za duży - czyli odpowiedź C. > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wzór działa tylko gdy \(\gamma\) to kąt **między** podanymi bokami \(a\) i \(b\), nie dowolny kąt trójkąta. > ⚠️ **Uwaga:** \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), a nie \(\frac{1}{2}\) (to jest \(\sin 30°\)). Pomylenie tych dwóch wartości to klasyczna wpadka na maturze. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Wzór na pole z dwóch boków i kąta Ze wzoru \(P = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma\) (karta wzorów, Dział 9): \[P = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \sin 60^{\circ} = 18\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}.\] ### Sposób 2 - Wysokość trójkąta Wysokość opuszczona na bok długości 9 z drugiej strony kąta 60° to \(h = 4\sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}\). Pole: \[P = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 2\sqrt{3} = 9\sqrt{3}.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. 18** - ktoś pomylił \(\sin 60^{\circ}\) z 1 lub zapomniał o \(\tfrac{1}{2}\). - **B. 9** - zapomnienie o \(\sin 60^{\circ}\), dodatkowo błąd. - **C. \(18\sqrt{3}\)** - pominięcie współczynnika \(\tfrac{1}{2}\). **Trik:** Wzór \(P = \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma\) działa, gdy \(a, b\) to boki przy kącie \(\gamma\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/19) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F19) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_