# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 3. (0-1)
Liczba (
)
(
)
2
2
1
2
2
2
jest równa
A. 1
B.
1
C. 3
2 2
D. 2 2
1
Liczba √((1-√2)^2) + √((2-√2)^2) jest równa A. 1; B. -1; C. 3-2√2; D. 2√2+1.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(2^{\frac{1}{6}}\)

## Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi

Kluczowa zasada: **każdy pierwiastek to potęga o wykładniku wymiernym**.

Zaczynamy od środka - zamieniamy \(\sqrt[3]{2}\) na potęgę:
\[\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\]

Teraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z tego wyrażenia:
\[\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt{2^{\frac{1}{3}}} = \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\]

Korzystamy ze wzoru \((a^r)^s = a^{r \cdot s}\) - mnożymy wykładniki:
\[\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{6}}\]

**Wynik: \(2^{\frac{1}{6}}\)**

## Sposób 2 - Bezpośrednia zamiana pierwiastka wielokrotnego

Można zapisać cały wyrażenie od razu jako jeden pierwiastek.

\(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) oznacza: bierzemy pierwiastek kwadratowy z pierwiastka sześciennego z 2.

Ogólna zasada: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\), bo:
\[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{m \cdot n}}\]

Stosujemy ją bezpośrednio:
\[\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[2 \cdot 3]{2} = \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{6}}\]

**Wynik: \(2^{\frac{1}{6}}\)** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**

Wzór na pierwiastek jako potęgę:
\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad \text{czyli w szczególności} \quad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\]

Wzór na potęgę potęgi:
\[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\]

Oba wzory były kluczowe w Sposobie 1 - zamieniamy pierwiastki na potęgi, a następnie mnożymy wykładniki.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B - \(2^{\frac{1}{5}}\) | Dodawanie wykładników zamiast mnożenia: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\) albo mylne myślenie "2 + 3 = 5, więc \(\frac{1}{5}\)" |
| C - \(2^{\frac{1}{3}}\) | Zignorowanie zewnętrznego pierwiastka kwadratowego - wzięcie tylko \(\sqrt[3]{2}\) |
| D - \(2^{\frac{2}{3}}\) | Pomylenie kierunku: zamiast \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\) policzono \(\frac{1}{3} \cdot 2\) lub \(\frac{2}{3}\) bez żadnego uzasadnienia |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dodawanie wykładników** zamiast ich mnożenia. Przy potędze potęgi MNOŻYMY: \((a^r)^s = a^{r \cdot s}\). Dodajemy wykładniki tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność pierwiastków ma znaczenie! \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) to: najpierw sześcian, potem kwadrat - czytamy od środka na zewnątrz. Wynik to \(\sqrt[6]{2}\), bo \(2 \times 3 = 6\).

> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić intuicyjnie - \(2^{\frac{1}{6}}\) jest bliskie 1 (bo wykładnik bardzo mały), a \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) to wielokrotne pierwiastkowanie 2, więc wynik rzeczywiście powinien być liczbą tylko nieznacznie większą od 1. To szybka weryfikacja sensu odpowiedzi.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi ułamkowe
Ze wzoru \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\) (karta wzorów, Dział 1):
\[\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt{2^{1/3}} = \left(2^{1/3}\right)^{1/2} = 2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{6}}.\]

### Sposób 2 - Pierwiastek z pierwiastka
Korzystamy ze wzoru \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\):
\[\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[2\cdot 3]{2} = \sqrt[6]{2} = 2^{1/6}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(2^{1/5}\)** - ktoś dodał stopnie pierwiastków (2+3=5) zamiast mnożyć.
- **C. \(2^{1/3}\)** - ktoś pominął zewnętrzny pierwiastek kwadratowy.
- **D. \(2^{2/3}\)** - błąd w interpretacji wykładnika (\(\tfrac{2}{3}\) sugeruje potęgę, nie pierwiastek).

**Trik:** Pierwiastek w pierwiastku = iloczyn stopni w mianowniku wykładnika.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_