# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Proste o równaniach
(
)
2
3
y
m
x
+ oraz
(
)
2
1
3
y
m
x
- są równoległe, gdy
A.
2
m =
B.
3
m =
C.
0
m =
D.
1
m =
S
K
L
M
L
K
M
N
a
b

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Proste o równaniach y = (m+2)x + 3 oraz y = (2m-1)x-3 są równoległe, gdy A. m=2; B. m=3; C. m=0; D. m=1.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(m = 4\)

## Sposób 1 - Warunek równoległości: równe współczynniki kierunkowe

Dwie proste w postaci kierunkowej \(y = ax + b\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne** (bo inaczej byłyby tą samą prostą).

Mamy:
\[y = (3m - 4)x + 2 \qquad \text{(prosta } l_1\text{)}\]
\[y = (12 - m)x + 3m \qquad \text{(prosta } l_2\text{)}\]

**Krok 1 - przyrównaj współczynniki kierunkowe:**
\[3m - 4 = 12 - m\]

**Krok 2 - przenieś wyrazy z \(m\) na lewą stronę:**
\[3m + m = 12 + 4\]
\[4m = 16\]
\[\boxed{m = 4}\]

**Krok 3 - sprawdź, czy proste nie są identyczne** (czyli czy wyrazy wolne różne):

Dla \(m = 4\):
- Prosta \(l_1\): \(y = (12-4)x + 2 = 8x + 2\)
- Prosta \(l_2\): \(y = (12-4)x + 3 \cdot 4 = 8x + 12\)

Wyrazy wolne: \(2 \neq 12\) ✓ - proste są rzeczywiście równoległe, nie identyczne.

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie do warunków

Sprawdzamy każdą z odpowiedzi, wstawiając do obu wzorów i porównując współczynniki:

| Wartość \(m\) | Współczynnik \(l_1\): \(3m-4\) | Współczynnik \(l_2\): \(12-m\) | Równe? |
| \(m = 4\) | \(3(4)-4 = 8\) | \(12-4 = 8\) | ✓ **TAK** |
| \(m = 3\) | \(3(3)-4 = 5\) | \(12-3 = 9\) | ✗ NIE |
| \(m = -4\) | \(3(-4)-4 = -16\) | \(12-(-4) = 16\) | ✗ NIE |
| \(m = -3\) | \(3(-3)-4 = -13\) | \(12-(-3) = 15\) | ✗ NIE |

Tylko \(m = 4\) spełnia warunek. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:

\[\text{Proste } y = a_1x + b_1 \text{ i } y = a_2x + b_2 \text{ są równoległe} \iff a_1 = a_2 \text{ i } b_1 \neq b_2\]

Użyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki przy \(x\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **B** \((m=3)\) | Brak systematycznego rozwiązywania równania - uczeń "zgaduje" \(m\) z liczb widocznych w treści (\(12 = 4 \cdot 3\)) albo błędnie upraszcza równanie |
| **C** \((m=-4)\) | Mylenie warunku równoległości z warunkiem **prostopadłości** \((a_1 \cdot a_2 = -1)\), co daje \((3m-4)(12-m) = -1\) - zupełnie inne równanie |
| **D** \((m=-3)\) | Błąd znaku przy przenoszeniu \(m\) na lewą stronę: uczeń pisze \(3m - m = 12 - 4\) zamiast \(3m + m = 12 + 4\), co daje \(2m = 8 \Rightarrow m = 4\) lub inne błędy pośrednie prowadzące do ujemnego wyniku |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to \(a_1 = a_2\) **ORAZ** \(b_1 \neq b_2\). Jeśli pominiesz drugi warunek, możesz dostać wartość \(m\), dla której proste są **identyczne** (pokrywają się), a nie równoległe. Zawsze sprawdzaj wyrazy wolne!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu \(-m\) na lewą stronę pamiętaj o zmianie znaku: \(3m - 4 = 12 - m \Rightarrow 3m \mathbf{+} m = 12 \mathbf{+} 4\). Najczęstszy błąd to napisanie \(3m - m = 12 - 4\), co daje \(2m = 8, m = 4\) - przypadkowo taki sam wynik! Ale przy innych liczbach ten błąd dałby błędną odpowiedź.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić równoległości (\(a_1 = a_2\)) z prostopadłością (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)). To dwa różne warunki!

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Warunek równoległości
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, Dział 6):
\[3m - 4 = 12 - m\]
\[4m = 16\]
\[m = 4.\]
Sprawdzenie: dla \(m=4\) współczynnik = \(12 - 4 = 8 = 3\cdot 4 - 4\) ✓. Dodatkowo sprawdzamy, że nie są tożsame: \(2 \neq 12\), więc równoległe (nie pokrywają się).

### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
Dla \(m=4\): prosta 1 ma współczynnik \(3\cdot 4 - 4 = 8\); prosta 2 ma współczynnik \(12-4 = 8\). Równe ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(m = 3\)** - \(3\cdot 3 - 4 = 5\), \(12-3 = 9\); różne.
- **C. \(m = -4\)** - \(3\cdot(-4)-4 = -16\), \(12-(-4) = 16\); różne.
- **D. \(m = -3\)** - \(-13\) vs \(15\); różne.

**Trik:** Równoległość = równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_