# Matematyka — zadanie 21 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/21 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności ## Treść Zadanie 21. (0-1) Punkt ( ) 3,2 A = - jest końcem odcinka AB, a punkt ( ) 4,1 M = jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa A. 2 5 B. 4 5 C. 5 2 D. 10 2 Punkt A=(-3,2) jest końcem odcinka AB, a punkt M=(4,1) jest środkiem tego odcinka. Długość odcinka AB jest równa A. 2√5; B. 4√5; C. 5√2; D. 10√2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(10\sqrt{2}\) ## Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B ze wzoru na środek odcinka **Znamy:** \(A = (-3, 2)\), \(M = (4, 1)\) - środek \(AB\). Szukamy najpierw \(B\), potem \(|AB|\). Ze wzoru na środek odcinka: \[x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}\] Wyznaczamy \(x_B\): \[4 = \frac{-3 + x_B}{2} \implies 8 = -3 + x_B \implies x_B = 11\] Wyznaczamy \(y_B\): \[1 = \frac{2 + y_B}{2} \implies 2 = 2 + y_B \implies y_B = 0\] Zatem \(B = (11, 0)\). Teraz liczymy długość \(|AB|\): \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2}\] \[= \sqrt{14^2 + (-2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \mathbf{10\sqrt{2}}\] ## Sposób 2 - Przez długość \(|AM|\) i podwojenie Skoro \(M\) jest **środkiem** odcinka \(AB\), to: \[|AB| = 2 \cdot |AM|\] Liczymy odległość \(|AM|\): \[|AM| = \sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Stąd: \[|AB| = 2 \cdot 5\sqrt{2} = \mathbf{10\sqrt{2}}\] Ten sposób jest szybszy - nie trzeba wyznaczać współrzędnych \(B\)! ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Długość odcinka o końcach \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\): \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Środek odcinka \(AB\): \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \qquad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] W Sposobie 1 użyliśmy obu wzorów: najpierw wzoru na środek (do wyznaczenia \(B\)), potem wzoru na długość. W Sposobie 2 wystarczył tylko wzór na długość (do wyznaczenia \(|AM|\)). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A \((2\sqrt{5})\) | Policzono \(\|AM\|\) ze zamienionymi składnikami: \(\sqrt{(1-(-3))^2+(4-2)^2} = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}\) - błąd zamiany \(\Delta x\) z \(\Delta y\) | | B \((4\sqrt{5})\) | Jak wyżej - popełniono błąd w \(\|AM\|\) (wynik \(2\sqrt{5}\)), a potem poprawnie podwojono; błąd w liczeniu \(\|AM\|\), nie w procedurze | | C \((5\sqrt{2})\) | Obliczono \(\|AM\| = \sqrt{49+1} = 5\sqrt{2}\) poprawnie, ale **zapomniano podwoić** - podano długość połowy odcinka zamiast całego | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie, że środek dzieli odcinek na **dwie równe części**, więc \(|AB| = 2 \cdot |AM|\). Samo obliczenie \(|AM|\) (czyli \(5\sqrt{2}\)) to odpowiedź C - klasyczna pułapka! > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \(B\) ze wzoru na środek - mnożymy obie strony przez 2 przed przeniesieniem \(x_A\) na drugą stronę. Łatwo o błąd przy ujemnych współrzędnych: \(8 = -3 + x_B \implies x_B = 11\), nie \(x_B = 5\). > ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (podwojenie \(|AM|\)) jest szybszy i zmniejsza ryzyko błędu arytmetycznego, bo pracujemy z mniejszymi liczbami (\(7^2 + 1^2\) zamiast \(14^2 + 2^2\)). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Wyznaczenie punktu B Ze wzoru na współrzędne środka: \(M = \left(\tfrac{x_A+x_B}{2}, \tfrac{y_A+y_B}{2}\right)\). Stąd \(x_B = 2\cdot 4 - (-3) = 11\), \(y_B = 2\cdot 1 - 2 = 0\), czyli \(B = (11, 0)\). Długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(11-(-3))^2 + (0-2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}.\] ### Sposób 2 - Podwojenie odległości AM \[|AM| = \sqrt{(4-(-3))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.\] Ponieważ \(M\) jest środkiem, \(|AB| = 2|AM| = 10\sqrt{2}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(2\sqrt{5}\)** - ktoś pomylił składowe przy obliczaniu długości. - **B. \(4\sqrt{5}\)** - błąd rachunkowy (np. \(\sqrt{80}\) zamiast \(\sqrt{200}\)). - **C. \(5\sqrt{2}\)** - to długość \(|AM|\), nie \(|AB|\). **Trik:** Środek odcinka = średnia arytmetyczna współrzędnych końców. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/21) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F21) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_