# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Stereometria, trygonometria ## Treść Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu /matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-184/z22.png A. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\) B. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) C. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D \[\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\] ## Sposób 1 - wektory i iloczyn skalarny Niech sześcian ma bok długości \(a = 1\). Umieszczamy go w układzie współrzędnych: \[A = (0,0,0), \quad B = (1,0,0), \quad B' = (1,0,1), \quad C' = (1,1,1)\] **Przekątna przestrzenna** sześcianu: od \(A\) do \(C'\): \[\vec{u} = \overrightarrow{AC'} = [1,1,1], \qquad |\vec{u}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\] **Przekątna ściany bocznej**: na ścianie \(ABB'A'\) przekątna od \(A\) do \(B'\): \[\vec{v} = \overrightarrow{AB'} = [1,0,1], \qquad |\vec{v}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}\] Kąt \(\alpha\) między tymi wektorami: \[\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\] Stąd: \[\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\] \[\boxed{\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}}\] ## Sposób 2 - geometryczny (trójkąt prostokątny) Weźmy trzy punkty: \(A = (0,0,0)\), \(B' = (1,0,1)\), \(C' = (1,1,1)\). Obliczamy boki trójkąta \(AB'C'\): \[|AB'| = \sqrt{2}, \qquad |B'C'| = \sqrt{0+1+0} = 1, \qquad |AC'| = \sqrt{3}\] Sprawdzamy, czy twierdzenie Pitagorasa zachodzi: \[|AB'|^2 + |B'C'|^2 = 2 + 1 = 3 = |AC'|^2 \quad \checkmark\] **Trójkąt \(AB'C'\) jest prostokątny - kąt prosty przy \(B'\)!** Kąt \(\alpha\) to kąt przy wierzchołku \(A\) (między przekątną przestrzenną \(AC'\) a przekątną ściany \(AB'\)). W trójkącie prostokątnym z prostym kątem przy \(B'\): \[\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{|B'C'|}{|AC'|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - przekątna przestrzenna i przekątna ściany prostopadłościanu/sześcianu wynikają z twierdzenia Pitagorasa stosowanego dwukrotnie. **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie: \[\sin\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\] używana w Sposobie 2. **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - iloczyn skalarny do wyznaczenia kąta między wektorami (Sposób 1) oraz długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\] ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Wartość | Typowy błąd | | A | \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) | To jest \(\cos\alpha\), a nie \(\sin\alpha\) - uczeń wyznaczył kąt poprawnie, ale wziął zły stosunek | | B | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | Uczeń mylnie uznaje, że kąt to \(45°\), licząc kąt między dwiema przekątnymi ścian w 2D zamiast w 3D | | C | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | Odpowiada \(\alpha = 60°\) - uczeń mógł policzyć kąt między przekątną przestrzenną a **krawędzią** sześcianu (\(\cos = \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\sin = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0{,}816\)) lub pomieszać działania | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) pojawia się w obliczeniach jako \(\cos\alpha\) - jeśli go widzisz, sprawdź, czy nie pomyliłeś sinusa z cosinusem. > ⚠️ **Uwaga:** Przekątna **ściany** sześcianu to \(a\sqrt{2}\), a przekątna **przestrzenna** to \(a\sqrt{3}\). Mylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w zadaniach o sześcianie - wypisz je na początku! > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kluczowe jest rozpoznanie, że trójkąt \(AB'C'\) jest **prostokątny przy \(B'\)**. Warto to zawsze sprawdzić wzorem Pitagorasa przed użyciem definicji sinusa. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny w sześcianie Niech krawędź sześcianu = \(a\). Przekątna ściany bocznej = \(a\sqrt{2}\), przekątna sześcianu = \(a\sqrt{3}\). W trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną sześcianu, przekątną ściany bocznej i krawędzią (która jest prostopadła do ściany i ma długość \(a\)): - przeciwprostokątna = \(a\sqrt{3}\) (przekątna sześcianu) - przyprostokątna naprzeciw kąta \(\alpha\) = \(a\) (krawędź) \[\sin\alpha = \tfrac{a}{a\sqrt{3}} = \tfrac{1}{\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}.\] ### Sposób 2 - Przez cosinus i dopełnienie \(\cos\alpha = \tfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \tfrac{\sqrt{6}}{3}\). Wtedy: \[\sin\alpha = \sqrt{1 - \tfrac{6}{9}} = \sqrt{\tfrac{3}{9}} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{\sqrt{6}}{3}\)** - to \(\cos\alpha\), nie \(\sin\alpha\). - **B. \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)** - \(\sin 45^{\circ}\); ale \(\alpha \neq 45^{\circ}\). - **C. \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)** - \(\sin 60^{\circ}\); niewłaściwe dopasowanie. **Trik:** Zidentyfikuj trójkąt prostokątny: przekątna sześcianu, przekątna ściany, krawędź. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Dany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy w - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). Ob - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). O _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_