# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Stereometria, planimetria

## Treść

Zadanie 23. (0-1)
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 10 2 . Pole powierzchni bocznej tego
walca jest równe
A. 50π
B. 100π
C. 200π
D. 250π
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej $10\sqrt2$. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe A. 50π; B. 100π; C. 200π; D. 250π.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(100\pi\)

## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów walca z przekroju osiowego

**Przekrój osiowy walca** to prostokąt, którego:
- szerokość = **średnica podstawy** = \(2r\)
- wysokość = **wysokość walca** = \(h\)

Skoro przekrój jest **kwadratem**, to:
\[2r = h\]

**Wyznaczamy bok kwadratu z przekątnej:**

Przekątna kwadratu o boku \(a\) wynosi \(a\sqrt{2}\), więc:
\[a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\]
\[a = 10\]

**Odczytujemy wymiary walca:**
\[2r = 10 \implies r = 5\]
\[h = 10\]

**Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:**
\[P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = \mathbf{100\pi}\]

## Sposób 2 - Przez przekątną bezpośrednio

Skoro kwadrat ma bok \(a = 10\), to \(r = \frac{a}{2} = 5\) i \(h = a = 10\).

Możemy też zapisać \(r\) wprost przez przekątną \(d = 10\sqrt{2}\):
\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10\]

Dalej identycznie: \(P_b = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej walca:
\[P_b = 2\pi r h\]
Użyliśmy tego wzoru po wyznaczeniu \(r\) i \(h\) z warunków zadania.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - przekątna kwadratu o boku \(a\):
\[d = a\sqrt{2}\]
(szczególny przypadek twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego równoramiennego)

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \(50\pi\) | Wzięto \(P_b = \pi r h\) zamiast \(2\pi r h\) (zapomniano o czynniku 2) |
| C - \(200\pi\) | Wzięto \(r = 10\) (utożsamiono bok kwadratu ze średnicą, a nie promieniem) |
| D - \(250\pi\) | Policzono pole powierzchni **całkowitej** \(P_c = 2\pi r(r+h)\) zamiast bocznej |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Bok kwadratu to **średnica** \(2r\), nie promień! Stąd \(r = \frac{a}{2} = 5\). Pomylenie promienia ze średnicą to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to prostokąt - nie mylić z **przekrojem równoległym do podstawy** (który jest kołem). Osiowy = przez oś walca.

> ⚠️ **Uwaga:** Z przekątnej \(d = 10\sqrt{2}\) wynika bok \(a = 10\), **nie** \(a = 10\sqrt{2}\). Nie pomijaj dzielenia przez \(\sqrt{2}\)!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wymiary walca
Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \(2r\) (średnica) i \(H\) (wysokość). Ponieważ jest kwadratem: \(2r = H\). Przekątna kwadratu = \(\text{bok}\cdot\sqrt{2}\), więc:
\[2r\cdot\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \;\Longrightarrow\; 2r = 10 \;\Longrightarrow\; r = 5,\ H = 10.\]
Pole powierzchni bocznej walca (karta wzorów, Dział 11):
\[P_b = 2\pi r H = 2\pi\cdot 5\cdot 10 = 100\pi.\]

### Sposób 2 - Pole rozwinięcia
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu to prostokąt o bokach \(2\pi r\) i \(H\). Ponieważ \(2r = H = 10\):
\[P_b = 2\pi\cdot 5\cdot 10 = 100\pi.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(50\pi\)** - brak podwojenia promienia (\(\pi r H\) zamiast \(2\pi r H\)).
- **C. \(200\pi\)** - \(r = 10\) zamiast 5 (pomylono bok z przekątną).
- **D. \(250\pi\)** - niewłaściwe wymiary.

**Trik:** Przekątna kwadratu = bok × \(\sqrt{2}\), więc bok = \(\tfrac{\text{przek.}}{\sqrt{2}}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_