# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż nierówność \(x^{2} + 6x - 16 < 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in (-8, 2)\)

## Sposób 1 - Wzór na pierwiastki (delta)

**Szukamy miejsc zerowych** trójmianu \(f(x) = x^2 + 6x - 16\).

Wyznaczamy deltę:
\[\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\]

Pierwiastki:
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

**Postać iloczynowa:** \(f(x) = (x+8)(x-2)\)

Teraz analizujemy znak. Parabola otwarta w górę (\(a = 1 > 0\)), więc:
- dla \(x < -8\): \(f(x) > 0\)
- dla \(x \in (-8, 2)\): \(f(x) < 0\) ✓
- dla \(x > 2\): \(f(x) > 0\)

**Nierówność \(f(x) < 0\) zachodzi dla \(x \in (-8, 2)\).**

## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)

Szukamy dwóch liczb, których **iloczyn** to \(-16\), a **suma** to \(6\).

Próbujemy: \(8 \cdot (-2) = -16\) oraz \(8 + (-2) = 6\) ✓

Zatem:
\[x^2 + 6x - 16 = (x + 8)(x - 2)\]

Nierówność staje się:
\[(x+8)(x-2) < 0\]

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **mają przeciwne znaki**:

| Czynnik | \(x < -8\) | \(-8 < x < 2\) | \(x > 2\) |
| \(x+8\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Iloczyn | \(+\) | \(-\) ✓ | \(+\) |

**Iloczyn ujemny dla \(x \in (-8, 2)\).**

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \quad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \(x_1 = -8\), \(x_2 = 2\).

Kluczowa własność z karty: parabola \(f(x) = ax^2 + bx + c\) z \(a > 0\) przyjmuje wartości **ujemne między miejscami zerowymi**.

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\(<\)), więc końce przedziału są **wykluczone** - zapisujemy \((-8, 2)\), nie \(\langle -8, 2 \rangle\). Gdyby było \(\leq 0\), dopiero wtedy domykamy nawias.

> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta w górę (\(a > 0\)) ma wartości ujemne **między** pierwiastkami - łatwo pomylić i wziąć dopełnienie \((-\infty, -8) \cup (2, +\infty)\), co jest odpowiedzią dla nierówności \(> 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki sprawdź sumę i iloczyn - tu suma wynosi \(+6\) (nie \(-6\)), więc większa liczba musi być dodatnia: \(+8\) i \(-2\), nie \(-8\) i \(+2\).

**Poprawna odpowiedź: \(x \in (-8, 2)\)**

### Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków przez deltę (karta wzorów, Dział 4)
Trójmian \(x^2 + 6x - 16\) ma \(a=1,\ b=6,\ c=-16\):
\[\Delta = 6^2 - 4\cdot 1\cdot(-16) = 36 + 64 = 100,\quad \sqrt{\Delta} = 10.\]
\[x_1 = \tfrac{-6-10}{2} = -8,\qquad x_2 = \tfrac{-6+10}{2} = 2.\]
Ponieważ \(a > 0\), parabola jest wypukła w górę. Nierówność \(< 0\) spełniona między pierwiastkami:
\[x \in (-8, 2).\]

### Sposób 2 - Wzory Viète'a
Szukamy dwóch liczb, których suma = \(-6\) i iloczyn = \(-16\). To \(-8\) i \(2\). Zatem \(x^2 + 6x - 16 = (x+8)(x-2) < 0\). Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają przeciwne znaki: \(-8 < x < 2\).

### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
- **1 pkt:** poprawne wyznaczenie pierwiastków \(x_1 = -8,\ x_2 = 2\) i na tym zakończenie LUB błędnie zapisany zbiór rozwiązań.
- **2 pkt:** poprawne podanie zbioru rozwiązań w postaci \((-8, 2)\) lub \(x \in (-8, 2)\), lub \(x > -8 \wedge x < 2\), lub graficznie z poprawnie zaznaczonymi końcami.
- **2 pkt:** nawet w przypadku popełnienia błędu porządku: np. \(x \in (2, -8)\) (uwzględnione w kryteriach CKE).

**Trik:** Dla \(ax^2+bx+c < 0\) z \(a>0\) zbiór rozwiązań to \((x_1, x_2)\) - OTWARTY (znak ostry).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_