# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie \((x^{3} + 27)(x^{2} - 16) = 0\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in \{-3, -4, 4\}\)

Równanie ma trzy pierwiastki: \(x = -3\), \(x = -4\), \(x = 4\).

## Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie iloczynów

Iloczyn dwóch czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden z nich jest zerem**. Rozwiązujemy więc dwa równania osobno.

**Czynnik 1:** \(x^3 + 27 = 0\)

Rozpoznajemy sumę sześcianów: \(27 = 3^3\), więc:

\[x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = 0\]

Stąd:
- \(x + 3 = 0 \implies x = -3\)
- \(x^2 - 3x + 9 = 0\)

Sprawdzamy deltę dla \(x^2 - 3x + 9\):
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0\]

Delta ujemna - **brak pierwiastków rzeczywistych** z tego czynnika.

**Czynnik 2:** \(x^2 - 16 = 0\)

Rozpoznajemy różnicę kwadratów: \(16 = 4^2\), więc:

\[x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4) = 0\]

Stąd:
- \(x - 4 = 0 \implies x = 4\)
- \(x + 4 = 0 \implies x = -4\)

**Odpowiedź:** \(x = -3\) lub \(x = -4\) lub \(x = 4\)

## Sposób 2 - Rozwiązanie bez rozkładu na czynniki (wprost z definicji)

Można też rozwiązać oba składowe równania bez wzorów skróconego mnożenia.

**Czynnik 1:** \(x^3 + 27 = 0\)
\[x^3 = -27\]
\[x = \sqrt[3]{-27} = -3\]

(W zbiorze liczb rzeczywistych sześcian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty - ujemny dla ujemnej liczby.)

**Czynnik 2:** \(x^2 - 16 = 0\)
\[x^2 = 16\]
\[x = \pm\sqrt{16} = \pm 4\]

**Weryfikacja** - podstawiamy do oryginalnego równania:
- \(x = -3\): \(((-3)^3 + 27)((-3)^2 - 16) = (-27+27)(9-16) = 0 \cdot (-7) = 0\) ✓
- \(x = 4\): \((64+27)(16-16) = 91 \cdot 0 = 0\) ✓
- \(x = -4\): \((-64+27)(16-16) = (-37) \cdot 0 = 0\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**

Suma sześcianów:
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]
Użyliśmy do rozłożenia \(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\).

Różnica kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy do rozłożenia \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
Użyliśmy do sprawdzenia, że \(x^2 - 3x + 9 = 0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\(\Delta = -27 < 0\)).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o czynniku \(x^2 - 3x + 9\)! Po rozłożeniu \(x^3 + 27\) dostajemy **dwa** czynniki. Trzeba sprawdzić deltę drugiego - tu \(\Delta < 0\), więc nie daje pierwiastków rzeczywistych.

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^3 = -27\) ma **dokładnie jeden** pierwiastek rzeczywisty: \(x = -3\). To nie to samo co \(x^2 = 27\), gdzie mamy \(\pm\sqrt{27}\). Funkcja \(f(x) = x^3\) jest ściśle rosnąca, więc każda wartość ma tylko jeden pierwiastek.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć \(x = -4\). Pamiętaj: \(x^2 = 16\) daje **dwa** rozwiązania: \(x = 4\) i \(x = -4\).

**Poprawna odpowiedź: \(x = -3\) lub \(x = 4\), lub \(x = -4\)**

### Sposób 1 - Iloczyn równy zero
Iloczyn dwóch czynników = 0, gdy przynajmniej jeden z nich = 0:
- \(x^3 + 27 = 0 \Rightarrow x^3 = -27 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-27} = -3.\)
- \(x^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) = 0 \Rightarrow x = 4 \lor x = -4.\)

Zbiór rozwiązań: \(\{-4, -3, 4\}\).

### Sposób 2 - Wzór na sumę sześcianów
Z karty wzorów: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\). Tu:
\[x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9).\]
Drugi czynnik \(x^2 - 3x + 9\) ma \(\Delta = 9 - 36 < 0\), brak pierwiastków rzeczywistych. Stąd \(x^3 + 27 = 0\) tylko dla \(x = -3\). Dalej jak wyżej.

### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
- **1 pkt:** zapisanie dwóch równań \(x^3 + 27 = 0\) i \(x^2 - 16 = 0\), LUB wyznaczenie rozwiązań jednego z równań.
- **2 pkt:** wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x = -3\) lub \(x = 4\), lub \(x = -4\). Podanie samej odpowiedzi bez obliczeń również daje 2 pkt.

**Trik:** Iloczyn = 0 ⟺ co najmniej jeden czynnik = 0 (twierdzenie o iloczynie).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_