# Matematyka — zadanie 28 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/28 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 2 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 28. (0-2) W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF. E D C B A F MMA_1P W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka $D$ poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Wykazujemy, że \(AB = BF\), skąd punkt \(B\) jest środkiem \(AF\). ## Sposób 1 - Przystające trójkąty (ABS) **Cel:** pokazać, że \(AB = BF\). **Kluczowe spostrzeżenie:** punkty \(B\), \(E\), \(F\), \(D\), \(C\) tworzą dwie figury, w których możemy znaleźć przystające trójkąty. **Krok 1 - kąty wierzchołkowe przy \(E\).** Odcinki \(BC\) i \(DF\) przecinają się w punkcie \(E\). Kąty wierzchołkowe są równe: \[\angle BEF = \angle CED\] **Krok 2 - boki przy \(E\).** Punkt \(E\) jest środkiem \(BC\), a więc: \[BE = CE\] **Krok 3 - kąty naprzemianległe.** W równoległoboku \(ABCD\) mamy \(AB \parallel DC\). Prosta \(DF\) jest ich sieczną. Kąty naprzemianległe (po przeciwnych stronach siecznej, między równoległymi) są równe: \[\angle EFB = \angle EDC\] *(Uzasadnienie: wektory \(\overrightarrow{FE}\) i \(\overrightarrow{DC}\) wskazują przeciwne kierunki do \(\overrightarrow{FD}\) i \(\overrightarrow{CD}\) - kąt między sieczną a prostą \(AB\) przy \(F\) jest równy kątowi między sieczną a prostą \(DC\) przy \(D\).)* **Krok 4 - przystające trójkąty.** W trójkątach \(BEF\) i \(CED\) zachodzą: - \(\angle BEF = \angle CED\) (kąty wierzchołkowe) - \(BE = CE\) (E - środek \(BC\)) - \(\angle EFB = \angle EDC\) (kąty naprzemianległe) Z twierdzenia **ABS** (kąt-bok-kąt): \[\triangle BEF \cong \triangle CED\] **Krok 5 - wniosek.** Z przystawania wynika, że odpowiadające sobie boki są równe: \[BF = CD\] Ponieważ \(ABCD\) jest równoległobokiem: \[CD = AB\] Zatem: \[BF = AB\] Punkt \(B\) leży na odcinku \(AF\) (między \(A\) i \(F\)) i spełnia \(AB = BF\), więc **\(B\) jest środkiem odcinka \(AF\)**. \(\blacksquare\) ## Sposób 2 - Wektory (metoda analityczna) Przyjmujemy \(A\) za początek układu. Niech \(\vec{b} = \overrightarrow{AB}\) i \(\vec{d} = \overrightarrow{AD}\) - wektory liniowo niezależne. Wyznaczamy położenia wszystkich punktów: \[A = \vec{0},\quad B = \vec{b},\quad C = \vec{b} + \vec{d},\quad D = \vec{d}\] \[E = \text{środek } BC = \frac{B + C}{2} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}\] **Parametryzacja prostej \(DE\):** \[\vec{r}(t) = D + t\cdot\overrightarrow{DE} = \vec{d} + t\left(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d} - \vec{d}\right) = \vec{d} + t\left(\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{d}\right)\] **Parametryzacja prostej \(AB\)** (przedłużenie): \[\vec{r}(s) = s\vec{b}\] **Punkt przecięcia \(F\)** - przyrównujemy: \[\vec{d} + t\vec{b} - \frac{t}{2}\vec{d} = s\vec{b}\] \[\vec{d}\left(1 - \frac{t}{2}\right) = \vec{b}(s - t)\] Ponieważ \(\vec{b}\) i \(\vec{d}\) są liniowo niezależne, oba współczynniki muszą być zerowe: \[1 - \frac{t}{2} = 0 \implies \boxed{t = 2}\] \[s - t = 0 \implies s = 2\] Zatem: \[F = s\vec{b} = 2\vec{b}\] **Sprawdzenie środka:** \[\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \qquad \overrightarrow{BF} = F - B = 2\vec{b} - \vec{b} = \vec{b}\] Ponieważ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF}\), punkty \(A\), \(B\), \(F\) są współliniowe i \(AB = BF\), więc **\(B\) jest środkiem odcinka \(AF\)**. \(\blacksquare\) ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa i własności kątów:** Twierdzenie o kątach naprzemianległych przy prostych równoległych: \[\text{Jeśli } AB \parallel DC \text{ i sieczna tnie obie proste, to kąty naprzemianległe są równe.}\] Użyte w Sposobie 1 (krok 3) do wykazania \(\angle EFB = \angle EDC\). **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - Wektory:** \[\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A], \qquad |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\] Użyte w Sposobie 2 do parametrycznego opisu prostych i wyznaczenia punktu \(F\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj pochopnie, że \(\triangle BEF \cong \triangle CED\) tylko dlatego, że \(E\) jest środkiem - musisz uzasadnić co najmniej dwa kąty. Same dwa boki (SSS lub SAS) tu nie działają bez dodatkowej informacji. > ⚠️ **Uwaga:** Kąty naprzemianległe zachodzą tylko dla prostych **równoległych** - zawsze powołaj się na właściwość równoległoboku \(AB \parallel DC\). > ⚠️ **Uwaga:** W rozwiązaniu wektorowym kluczowe jest to, że \(\vec{b}\) i \(\vec{d}\) są **liniowo niezależne** (bo \(ABCD\) jest równoległobokiem, a nie degeneruje do odcinka). Bez tego nie możemy „rozdzielić" współczynników przy \(\vec{b}\) i \(\vec{d}\). **Poprawna odpowiedź: dowód, \(|AB| = |BF|\), czyli \(B\) jest środkiem \(AF\).** ### Sposób 1 - Przystawanie trójkątów (cecha kąt-bok-kąt) Rozpatrujemy trójkąty \(BFE\) i \(CDE\): 1. \(|BE| = |EC|\) - bo \(E\) jest środkiem \(BC\). 2. \(\angle BEF = \angle CED\) - kąty wierzchołkowe. 3. \(\angle FBE = \angle DCE\) - kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(AF \parallel CD\) (bo \(AB \parallel CD\) w równoległoboku). Z cechy \(kbk\) (kąt-bok-kąt) trójkąty \(BFE\) i \(CDE\) są przystające. Stąd \(|BF| = |CD|\). Ponieważ \(ABCD\) to równoległobok, \(|AB| = |CD|\). Wniosek: \(|AB| = |BF|\), czyli \(B\) jest środkiem odcinka \(AF\). ∎ ### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów Trójkąty \(AFD\) i \(BFE\) są podobne (wspólny kąt przy \(F\), kąty \(\angle DAF = \angle EBF\) jako odpowiadające dla równoległych \(AD \parallel BE\)). Z podobieństwa: \(\tfrac{|AD|}{|BE|} = \tfrac{|AF|}{|BF|}\). Ponieważ \(|BE| = \tfrac{1}{2}|BC| = \tfrac{1}{2}|AD|\), mamy \(\tfrac{|AD|}{\tfrac{1}{2}|AD|} = 2 = \tfrac{|AF|}{|BF|}\). Stąd \(|AF| = 2|BF|\), czyli \(|AB| = |BF|\). ∎ ### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE) - **1 pkt:** zapisanie lub wykorzystanie przystawania trójkątów \(BFE\) i \(CDE\); LUB zauważenie podobieństwa \(AFD \sim BFE\) i zapisanie proporcji. - **2 pkt:** przeprowadzenie pełnego, poprawnego rozumowania prowadzącego do wniosku \(|AB| = |BF|\). **Trik:** W zadaniach typu „wykaż, że punkt to środek" szukamy pary trójkątów przystających, w których szukane odcinki są sobie równe. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/28) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F28) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-3) Odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Prosta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkci - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-3) Odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Prosta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkci - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (3 pkt) Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵 i odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością tego trójkąta. Punkt 𝐸 jest środkiem boku 𝐴𝐶. Ponadto odcinki _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_