# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności, dowody

## Treść

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $a, b > 0$, z równością gdy $a = b$.

## Sposób 1 - Rozwinięcie i nierówność AM-GM

**Rozwijamy lewą stronę:**

\[
(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}
\]

**Teraz wystarczy pokazać, że:**

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2
\]

Stosujemy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM):

\[
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2
\]

(AM-GM mówi: dla liczb nieujemnych $p + q \geq 2\sqrt{pq}$, tutaj $p = \frac{a}{b}$, $q = \frac{b}{a}$, oba dodatnie bo $a, b > 0$)

**Łącząc oba kroki:**

\[
(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 + 2 = 4
\]

**Równość zachodzi gdy $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$, czyli gdy $a = b$.**

## Sposób 2 - Przekształcenie do $(a-b)^2 \geq 0$

Zamiast stosować AM-GM, cofamy się do czysto algebraicznego argumentu.

**Upraszczamy wspólny mianownik:**

\[
(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = (a+b) \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab}
\]

**Nierówność do udowodnienia przyjmuje postać:**

\[
\frac{(a+b)^2}{ab} \geq 4
\]

Ponieważ $a, b > 0$, mamy $ab > 0$, więc możemy pomnożyć obie strony przez $ab$ (bez zmiany kierunku nierówności):

\[
(a+b)^2 \geq 4ab
\]

**Rozwijamy lewą stronę:**

\[
a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab
\]

**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**

\[
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
\]

\[
(a - b)^2 \geq 0
\]

**Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny** - nierówność zachodzi dla wszystkich $a, b \in \mathbb{R}$, a w szczególności dla $a, b > 0$.

Równość $(a-b)^2 = 0$ zachodzi dokładnie gdy $a = b > 0$. $\blacksquare$

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2, rozkładając wyrażenie $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \geq 0$.

Nierówność AM-GM ($p + q \geq 2\sqrt{pq}$) **nie widnieje wprost** w karcie wzorów CKE, ale jest standardowym faktem, który można wyprowadzić z $({\sqrt{p}} - \sqrt{q})^2 \geq 0$.

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno mnożyć przez $ab$ bez zaznaczenia, że $ab > 0$ (bo $a, b > 0$). Gdyby $ab < 0$, kierunek nierówności by się odwrócił.

> ⚠️ **Uwaga:** Dowód przez przykłady (np. „sprawdziłem dla $a=1, b=2$") **nie jest dowodem**. Trzeba pokazać, że nierówność zachodzi dla **wszystkich** $a, b > 0$.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 krok AM-GM wymaga uzasadnienia - sam cytat wzoru to za mało na pełne punkty. Warto dodać, że $\frac{a}{b} > 0$ i $\frac{b}{a} > 0$, więc zastosowanie AM-GM jest uprawnione.

**Poprawna odpowiedź: dowód nierówności \((a+b)(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}) \geq 4\) dla \(a, b > 0\).**

### Sposób 1 - Przekształcenie równoważne do \((a-b)^2 \geq 0\)
Rozwijamy iloczyn:
\[(a+b)\left(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}\right) = 1 + \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} + 1 = 2 + \tfrac{a^2+b^2}{ab}.\]
Nierówność \(\geq 4\) jest równoważna:
\[\tfrac{a^2+b^2}{ab} \geq 2 \iff a^2 + b^2 \geq 2ab \iff (a-b)^2 \geq 0.\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych. Ponieważ wszystkie przekształcenia są równoważne (przy \(a, b > 0\) nie zmieniają znaku), pierwotna nierówność zachodzi. Równość tylko dla \(a = b\). ∎

### Sposób 2 - Nierówność między średnimi (AM-GM)
Dla dodatnich \(a, b\) zachodzi średnia arytmetyczna \(\geq\) geometryczna:
\[a + b \geq 2\sqrt{ab}, \qquad \tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} \geq 2\sqrt{\tfrac{1}{ab}} = \tfrac{2}{\sqrt{ab}}.\]
Mnożąc stronami (obie strony dodatnie):
\[(a+b)\left(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}\right) \geq 2\sqrt{ab}\cdot \tfrac{2}{\sqrt{ab}} = 4. \; \blacksquare\]

### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
- **1 pkt:** przekształcenie do postaci, w której występują jedynie \(a^2, b^2\) i \(ab\), np. \(\tfrac{a^2+b^2}{ab} \geq 2\) lub \(a^2 + b^2 \geq 2ab\).
- **2 pkt:** pełne rozumowanie zakończone \((a-b)^2 \geq 0\) lub użyciem nierówności między średnimi z uzasadnieniem.

**Trik:** Klucz: \(a^2 + b^2 \geq 2ab\) wynika z \((a-b)^2 \geq 0\) - ta nierówność jest fundamentem wielu dowodów.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝒂 prawdziwa jest nierówność 𝒂𝟐+ 𝟏𝟔 𝒂≥𝟏𝟐 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Wykaż, że dla każdej liczby 
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 prawdziwa jest nierówność 𝑎2 + 16 𝑎≥12 EMAP-R0_100 EMAP-R0_100
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że 2 2 2 x y , prawdziwa jest nierówność 2 x y ≤ MMA_1R Wypełnia egzaminato
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (3 pkt) Udowodnij, że jeżeli 0 a b   , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 2 a b a b ab    Poziom rozszerzony 13 Udowodnij, że jeżeli a+b >= 0, t

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_