# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Zadanie 3. (0-1)
Dane są liczby
8
4,5 10
x
⋅
oraz
2
1,5 10
y =
⋅
. Wtedy iloraz x
y jest równy
A.
10
3 10-
⋅
B.
6
3 10-
⋅
C.
10
6,75 10-
⋅
D.
6
6,75 10-
⋅
Dane są liczby x = 4,5⋅10^(-8) oraz y = 1,5⋅10^2. Wtedy iloraz x/y jest równy A. 3⋅10^(-10); B. 3⋅10^(-6); C. 6,75⋅10^(-10); D. 6,75⋅10^(-6).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(3 \cdot 10^{-10}\)

## Sposób 1 - Dzielenie w notacji naukowej (osobno ułamek, osobno potęga)

Dzielimy ułamek z separacją na część liczbową i część potęgową:

\[
\frac{x}{y} = \frac{4{,}5 \cdot 10^{-8}}{1{,}5 \cdot 10^{2}}
\]

**Krok 1 - dzielimy części liczbowe:**
\[
\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3
\]

**Krok 2 - dzielimy potęgi dziesiątki** (odejmujemy wykładniki):
\[
\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}
\]

**Krok 3 - składamy wynik:**
\[
\frac{x}{y} = 3 \cdot 10^{-10}
\]

**Wynik: \(\boxed{3 \cdot 10^{-10}}\)**

## Sposób 2 - Zamiana na dziesiętne i weryfikacja

Sprawdzimy, że wynik ma sens, przeliczając przez potęgi.

\[
x = 4{,}5 \cdot 10^{-8} = 0{,}000\,000\,045
\]
\[
y = 1{,}5 \cdot 10^{2} = 150
\]
\[
\frac{x}{y} = \frac{0{,}000\,000\,045}{150} = 0{,}000\,000\,000\,3 = 3 \cdot 10^{-10}
\]

Zgadza się z odpowiedzią A. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:
\[
\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}
\]
Użyliśmy tego w Kroku 2: \(\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2} = 10^{-10}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Odejmowanie wykładników: \(-8 - 2 = -6\) - **błąd znaku**, bo dodano zamiast odjąć: \(-8 + 2 = -6\) zamiast \(-8 - 2 = -10\) |
| C | Zamiast dzielić \(\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3\), uczeń dodał: \(\frac{4{,}5 + 1{,}5}{2} = 3\) albo błędnie dzielił \(4{,}5 \div 1{,}5\) i wyszło \(6{,}75\), biorąc zamiast tego \(4{,}5 \cdot 1{,}5 = 6{,}75\) |
| D | Dwa błędy naraz: zły wynik dzielenia (\(4{,}5 \cdot 1{,}5 = 6{,}75\) zamiast \(\div\)) **oraz** zły wykładnik \(-6\) zamiast \(-10\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu potęg **odejmujemy** wykładnik mianownika od wykładnika licznika: \(\frac{10^{-8}}{10^{2}} = 10^{-8-2}\). Nie piszemy \(-8 + 2 = -6\)! Odejmujemy \(+2\), co daje \(-10\).

> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie \(\frac{4{,}5}{1{,}5}\) łatwo pomylić z mnożeniem \(4{,}5 \cdot 1{,}5 = 6{,}75\) - odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka. Sprawdź: \(1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\) ✓

> ⚠️ **Uwaga:** Notacja naukowa to zawsze iloczyn - dzielimy **osobno** część liczbową i **osobno** potęgę dziesiątki. Nie mieszaj tych dwóch obliczeń!

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Dzielenie potęg o tej samej podstawie
\[\tfrac{x}{y} = \tfrac{4{,}5\cdot 10^{-8}}{1{,}5\cdot 10^{2}} = \tfrac{4{,}5}{1{,}5}\cdot 10^{-8-2} = 3\cdot 10^{-10}.\]
Korzystamy ze wzoru \(\tfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\).

### Sposób 2 - Osobne obliczenia
Mantysa: \(\tfrac{4{,}5}{1{,}5} = 3\). Wykładnik: \(-8 - 2 = -10\). Wynik: \(3\cdot 10^{-10}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(3\cdot 10^{-6}\)** - błąd znaku wykładnika: \(-8 + 2 = -6\) (dodanie zamiast odjęcia).
- **C. \(6{,}75\cdot 10^{-10}\)** - pomnożenie mantys zamiast dzielenia (\(4{,}5\cdot 1{,}5 = 6{,}75\)).
- **D. \(6{,}75\cdot 10^{-6}\)** - podwójny błąd: mnożenie mantys i dodawanie wykładników.

**Trik:** Przy dzieleniu w notacji wykładniczej: mantysy dzielimy, wykładniki odejmujemy.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_