# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 30. (0-2)
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego
, określonego dla
1
n ≥, jest równy 34, a suma
jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego
ciągu.
Odpowiedź:
(
)
n
a

MMA_1P
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(a_1 = -2\), różnica \(r = \frac{9}{2}\)

## Sposób 1 - Układ równań z wzorów na wyraz i sumę

**Zapisujemy, co wiemy:**

Dany ciąg arytmetyczny \((a_n)\) spełnia:
- \(a_9 = 34\)
- \(S_8 = 110\)

**Krok 1 - Pierwsze równanie (z wzoru na wyraz ogólny):**

\[a_n = a_1 + (n-1)r\]

Dla \(n = 9\):
\[a_1 + 8r = 34 \tag{1}\]

**Krok 2 - Drugie równanie (z wzoru na sumę):**

\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\]

Dla \(n = 8\):
\[S_8 = \frac{2a_1 + 7r}{2} \cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110\]

\[2a_1 + 7r = \frac{110}{4} = \frac{55}{2} \tag{2}\]

**Krok 3 - Rozwiązujemy układ:**

Z równania \((1)\): \(a_1 = 34 - 8r\)

Podstawiamy do \((2)\):
\[2(34 - 8r) + 7r = \frac{55}{2}\]
\[68 - 16r + 7r = \frac{55}{2}\]
\[68 - 9r = \frac{55}{2}\]
\[9r = 68 - \frac{55}{2} = \frac{136 - 55}{2} = \frac{81}{2}\]
\[r = \frac{81}{2 \cdot 9} = \frac{9}{2}\]

Stąd:
\[a_1 = 34 - 8 \cdot \frac{9}{2} = 34 - 36 = -2\]

**Wynik: \(a_1 = -2\), \(r = \frac{9}{2}\)**

## Sposób 2 - Wzór na sumę przez \(a_1\) i \(a_8\), z użyciem \(a_9\)

**Inny punkt wyjścia - suma jako średnia pierwszego i ostatniego:**

\[S_8 = \frac{a_1 + a_8}{2} \cdot 8 = 4(a_1 + a_8) = 110\]
\[a_1 + a_8 = \frac{110}{4} = \frac{55}{2} \tag{A}\]

Jednocześnie:
\[a_9 = a_8 + r = 34 \implies a_8 = 34 - r \tag{B}\]
\[a_8 = a_1 + 7r \tag{C}\]

Z \((A)\) i \((C)\):
\[a_1 + (a_1 + 7r) = \frac{55}{2} \implies 2a_1 + 7r = \frac{55}{2}\]

To jest dokładnie to samo równanie \((2)\) co w Sposobie 1 - dalej postępujemy identycznie i otrzymujemy ten sam wynik.

**Weryfikacja wyników:**
\[a_9 = -2 + 8 \cdot \frac{9}{2} = -2 + 36 = 34 \checkmark\]
\[S_8 = 4\!\left(2 \cdot (-2) + 7 \cdot \frac{9}{2}\right) = 4\!\left(-4 + \frac{63}{2}\right) = 4 \cdot \frac{55}{2} = 110 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - dwa wzory kluczowe dla tego zadania:

**Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:**
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy go, by zapisać warunek \(a_9 = 34\) jako równanie z dwiema niewiadomymi.

**Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów:**
\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\]
Użyliśmy go, by zapisać warunek \(S_8 = 110\) i uzyskać drugie równanie układu.

Alternatywna postać sumy (Sposób 2) - również na karcie:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \(a_n = a_1 + (n-1)r\) dla \(n = 9\) mamy \(\mathbf{(9-1) = 8}\), nie \(9\). Częsty błąd to napisanie \(a_1 + 9r = 34\), co daje zły wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** Suma \(S_8\) to suma **ośmiu** wyrazów: \(a_1, a_2, \ldots, a_8\). Ostatni wyraz sumy to \(a_8\), nie \(a_9\)! Pomylenie tego skutkuje równaniem \(2a_1 + 8r = \frac{55}{2}\), które jest błędne.

> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \(r = \frac{9}{2} = 4{,}5\) - ciąg arytmetyczny może mieć różnicę ułamkową. Nie ma wymogu, by \(r\) było liczbą całkowitą.

**Poprawna odpowiedź: \(a_1 = -2\), \(r = 4{,}5\)**

### Sposób 1 - Układ dwóch równań z wzorów CKE
Z karty wzorów (Dział 3): \(a_n = a_1 + (n-1)r\) oraz \(S_n = \tfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n\). Stąd:
\[a_9 = a_1 + 8r = 34\]
\[S_8 = \tfrac{2a_1 + 7r}{2}\cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 110.\]
Upraszczamy drugie równanie: \(2a_1 + 7r = \tfrac{110}{4} = 27{,}5\), czyli \(8a_1 + 28r = 110\).
Z pierwszego równania: \(a_1 = 34 - 8r\). Podstawiamy:
\[8(34 - 8r) + 28r = 110\]
\[272 - 64r + 28r = 110\]
\[-36r = -162\]
\[r = 4{,}5.\]
\[a_1 = 34 - 8\cdot 4{,}5 = 34 - 36 = -2.\]

### Sposób 2 - Korzystanie ze średniej
\(S_8 = 8\cdot \tfrac{a_1 + a_8}{2} = 4(a_1 + a_8) = 110\), stąd \(a_1 + a_8 = 27{,}5\). Wiemy \(a_8 = a_9 - r = 34 - r\). Oraz \(a_1 = a_9 - 8r = 34 - 8r\). Wtedy:
\[(34 - 8r) + (34 - r) = 27{,}5\]
\[68 - 9r = 27{,}5\]
\[r = 4{,}5, \quad a_1 = -2.\]

### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
- **1 pkt:** zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a_1\) i \(r\), np. \(34 = a_1 + 8r\) oraz \(110 = \tfrac{2a_1+7r}{2}\cdot 8\).
- **2 pkt:** obliczenie \(a_1 = -2\) i \(r = 4{,}5\).

**Trik:** Dla ciągu arytmetycznego: dwa warunki = układ dwóch równań liniowych. \(S_n\) można też wyrazić jako \(n\cdot \tfrac{a_1+a_n}{2}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-6) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 a
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Ciąg ( ) , 4, , a b c jest arytmetyczny, a ciąg ( ) , , 4 a a b c jest geometryczny. Oblicz a, b i c. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wy
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6). Ciąg (𝑏𝑛), okre

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_