# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Punkty
(
)
2, 4
A =
,
(
)
0, 0
B =
,
(
)
4,
2
C =
są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest
środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Punkt A=(2,4), B=(0,0), C=(4,-2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Równanie prostej \(BD\) to \(y = \frac{1}{3}x\).

## Sposób 1 - wyznaczenie środka i wzór prostej

**Krok 1: Wyznaczamy punkt \(D\) - środek boku \(AC\).**

\(A = (2, 4)\), \(C = (4, -2)\), więc:

\[D = \left(\frac{x_A + x_C}{2},\ \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2+4}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right) = (3,\ 1)\]

**Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(BD\).**

\(B = (0, 0)\), \(D = (3, 1)\):

\[a = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{1 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}\]

**Krok 3: Piszemy równanie prostej.**

Prosta przechodzi przez \(B = (0, 0)\), więc wyraz wolny \(b = 0\):

\[\boxed{y = \frac{1}{3}x}\]

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy oba punkty \(B\) i \(D\) leżą na prostej \(y = \frac{1}{3}x\):

- Dla \(B = (0, 0)\): \(\frac{1}{3} \cdot 0 = 0\) ✓
- Dla \(D = (3, 1)\): \(\frac{1}{3} \cdot 3 = 1\) ✓

Oba punkty spełniają równanie, więc wynik jest poprawny.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Środek odcinka:
\[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\]
Użyliśmy tego do wyznaczenia punktu \(D\).

Równanie kierunkowe prostej:
\[y = ax + b, \quad \text{gdzie } a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Użyliśmy do znalezienia równania prostej przez dwa punkty.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Obliczenie nachylenia jako \(\frac{x_D - x_B}{y_D - y_B} = \frac{3}{1} = 3\) - zamiana licznika z mianownikiem, wynik \(y = 3x\) |
| B | Wzięcie środka \(BD\) zamiast środka \(AC\) jako punkt \(D\), co daje błędny punkt i błędne nachylenie |
| C | Poprawne nachylenie \(\frac{1}{3}\), ale błędne wyznaczenie wyrazu wolnego \(b\) - pominięcie faktu, że prosta przechodzi przez początek układu \(B=(0,0)\), co daje \(b=0\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Środek odcinka \(AC\) to NIE jest punkt \(A\) ani \(C\) - trzeba go wyliczyć ze wzoru na środek. Wielu uczniów pomija ten krok i wylicza prostą przez \(B\) i \(A\) lub \(B\) i \(C\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu nachylenia prostej \(a = \frac{\Delta y}{\Delta x}\), pamiętaj: różnica \(y\) w liczniku, różnica \(x\) w mianowniku - nie odwrotnie!

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy prosta przechodzi przez \(B = (0, 0)\), wyraz wolny \(b = 0\) automatycznie. Sprawdź to zawsze przez podstawienie - to zajmuje 5 sekund i eliminuje głupi błąd.

**Poprawna odpowiedź: \(y = \dfrac{1}{3}x\)**

### Sposób 1 - Środek odcinka i równanie prostej przez dwa punkty
Współrzędne środka \(D\) boku \(AC\) (karta wzorów, Dział 6):
\[D = \left(\tfrac{2+4}{2}, \tfrac{4+(-2)}{2}\right) = (3, 1).\]
Prosta \(BD\) przechodzi przez \(B = (0,0)\) i \(D = (3,1)\). Ponieważ przechodzi przez początek układu, ma postać \(y = ax\):
\[a = \tfrac{1 - 0}{3 - 0} = \tfrac{1}{3}.\]
Równanie: \(y = \tfrac{1}{3}x\).

### Sposób 2 - Wzór na prostą przez dwa punkty
Wzór: \((y-y_1)(x_2-x_1) - (y_2-y_1)(x-x_1) = 0\). Dla \(B=(0,0), D=(3,1)\):
\[(y-0)(3-0) - (1-0)(x-0) = 0\]
\[3y - x = 0 \iff y = \tfrac{1}{3}x.\]

### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
- **1 pkt:** wyznaczenie współrzędnych środka \(D = (3, 1)\), LUB zaznaczenie wierzchołków \(ABC\) i podanie współczynnika kierunkowego prostej \(AC: -3\).
- **2 pkt:** wyznaczenie równania prostej \(BD: y = \tfrac{1}{3}x\).

**Trik:** Gdy prosta przechodzi przez \((0,0)\), ma postać \(y = ax\) - wystarczy jeden punkt, by wyznaczyć \(a\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_