# Matematyka — zadanie 33 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/33 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 4 - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo ## Treść Zadanie 33. (0-4) Ze zbioru { } 3, 2, 1,1, 2, 3 A = - losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru { } 2 ,1 ,0 ,1 B losujemy liczbę b. Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej ( ) f x ax b . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. MMA_1P Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 33. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt MMA_1P Ze zbioru A = {-3,-2,-1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B = {-1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są -- odpowiednio -- współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{1}{8}\). ## Sposób 1 - Analiza warunków i zliczanie par (a, b) **Przestrzeń zdarzeń elementarnych:** Losujemy niezależnie \(a\) z \(A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) i \(b\) z \(B = \{-1, 0, 1, 2\}\). Liczba wszystkich możliwych par \((a, b)\): \[|\Omega| = |A| \cdot |B| = 6 \cdot 4 = 24\] **Warunek 1 - funkcja jest rosnąca:** Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) jest rosnąca \(\iff a > 0\). Z \(A\): wartości dodatnie to \(\{1, 2, 3\}\) - **3 możliwe wartości** \(a\). **Warunek 2 - funkcja ma dodatnie miejsce zerowe:** Miejsce zerowe: \(f(x_0) = 0 \implies ax_0 + b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{a}\) Chcemy \(x_0 > 0\), czyli: \[-\frac{b}{a} > 0\] Skoro już wiemy, że \(a > 0\) (warunek 1), wystarczy: \[-b > 0 \implies b < 0\] Z \(B = \{-1, 0, 1, 2\}\): wartości ujemne to wyłącznie \(\{-1\}\) - **1 możliwa wartość** \(b\). > Uwaga: gdy \(b = 0\), zero funkcji jest w \(x_0 = 0\) - nie jest dodatnie! **Liczba sprzyjających par:** \[|A_{\text{spr}}| = 3 \cdot 1 = 3\] Konkretne pary: \((1, -1),\ (2, -1),\ (3, -1)\). **Prawdopodobieństwo:** \[\boxed{P = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie wszystkich sprzyjających przypadków Wypisujemy WSZYSTKIE pary \((a, b)\), które spełniają oba warunki: | Para \((a, b)\) | Funkcja | Rosnąca? | Zero \(x_0 = -\frac{b}{a}\) | Dodatnie? | | \((1, -1)\) | \(f(x) = x - 1\) | TAK | \(x_0 = 1\) | ✅ | | \((2, -1)\) | \(f(x) = 2x - 1\) | TAK | \(x_0 = \frac{1}{2}\) | ✅ | | \((3, -1)\) | \(f(x) = 3x - 1\) | TAK | \(x_0 = \frac{1}{3}\) | ✅ | Tylko **3 pary** spełniają oba warunki spośród 24. \[P = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\] Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✅ ## Wzory z karty CKE **Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Użyliśmy go do wyznaczenia \(P = \frac{3}{24}\) - liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | Zaliczono \(b = 0\) jako dające dodatnie zero (\(x_0 = 0\) nie jest dodatnie!) → \(\frac{6}{24} = \frac{1}{4}\) | | C | Policzono tylko warunek rosnącości bez warunku na zero → \(\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\) | | D | Wzięto \(|A| \cdot |B| = 6 \cdot 4 = 24\) poprawnie, ale do sprzyjających doliczono ujemne \(a\) z ujemnym \(b\) (zapominając, że \(a < 0\) daje funkcję malejącą) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(x_0 = 0\) to **nie** jest dodatnie miejsce zerowe! Wyraz wolny \(b = 0\) daje zero dokładnie w \(x = 0\), co nie spełnia warunku. > ⚠️ **Uwaga:** Przy \(a < 0\) i \(b < 0\) zero wynosi \(x_0 = -\frac{b}{a} = \frac{|b|}{|a|} > 0\) - jest dodatnie! Ale funkcja jest wtedy **malejąca**, więc ten przypadek odpada. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że oba warunki muszą być spełnione **jednocześnie** - to iloczyn logiczny, nie suma. Nie dodajemy przypadków sprzyjających każdemu warunkowi osobno, tylko szukamy ich wspólnej części. **Poprawna odpowiedź: \(P(Z) = \dfrac{1}{8}\)** ### Sposób 1 - Klasyczne zliczenie **Przestrzeń zdarzeń.** Para uporządkowana \((a, b)\), gdzie \(a \in A\) i \(b \in B\). Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych: \[|\Omega| = |A|\cdot|B| = 6\cdot 4 = 24.\] **Warunki na zdarzenie \(Z\):** 1. Funkcja \(f(x) = ax + b\) jest **rosnąca** \(\iff a > 0\). Z \(A\): \(a \in \{1, 2, 3\}\). 2. Funkcja ma **dodatnie miejsce zerowe**. Miejsce zerowe: \(x_0 = -\tfrac{b}{a}\). Warunek \(x_0 > 0\) wymaga, by \(-\tfrac{b}{a} > 0\), a skoro \(a > 0\), to \(b < 0\). Z \(B\): \(b = -1\). Zdarzenia sprzyjające: \(Z = \{(1,-1), (2,-1), (3,-1)\}\), \(|Z| = 3\). **Prawdopodobieństwo:** \[P(Z) = \tfrac{|Z|}{|\Omega|} = \tfrac{3}{24} = \tfrac{1}{8}.\] ### Sposób 2 - Reguła mnożenia \(P(a > 0) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}\) (trzy z sześciu wartości \(a\)). \(P(b = -1) = \tfrac{1}{4}\). Losowania są niezależne: \[P(Z) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}.\] ### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE) - **1 pkt:** obliczenie \(|\Omega| = 24\), LUB zapisanie \(a \in \{1,2,3\}\), LUB zapisanie \(b = -1\). - **2 pkt:** obliczenie \(|\Omega| = 24\) i zapisanie \(a \in \{1,2,3\}\); LUB zapisanie \(a \in \{1,2,3\}\) oraz \(b = -1\). - **3 pkt:** wyznaczenie zbioru \(Z = \{(1,-1),(2,-1),(3,-1)\}\) i \(|\Omega| = 24\); LUB zapisanie \(|Z| = 3\), \(a \in \{1,2,3\}, b=-1\). - **4 pkt:** pełne obliczenie: \(P(Z) = \tfrac{1}{8}\). **Trik:** Warunek \(-\tfrac{b}{a} > 0\) przy \(a > 0\) sprowadza się do \(b < 0\). Warunki na \(a\) i \(b\) są niezależne. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/33) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F33) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2020-listopad-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/9) — W pudełku znajduje się 30 piłeczek ponumerowanych liczbami 1, 2, 3, 4, , 30 . Losujemy kolejno dwie piłeczki bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_