# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 34. (0-4)
W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego
w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - pole trójkąta \(ACB = 30\)

## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

**Ustawiamy dane.** Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\), więc:
- \(AC = b = 5\) (jedna przyprostokątna)
- \(BC = a = ?\) (druga przyprostokątna)
- \(AB = c = ?\) (przeciwprostokątna)
- \(r = 2\) (promień okręgu wpisanego)

**Korzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:**

\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

Podstawiamy \(r = 2\), \(b = 5\):

\[2 = \frac{a + 5 - c}{2}\]

\[4 = a + 5 - c\]

\[c = a + 1\]

**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:**

\[c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 25\]

Podstawiamy \(c = a + 1\):

\[(a+1)^2 = a^2 + 25\]

\[a^2 + 2a + 1 = a^2 + 25\]

\[2a = 24\]

\[\mathbf{a = 12}\]

A zatem \(BC = 12\), \(c = AB = 13\).

**Obliczamy pole:**

\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = \boxed{30}\]

## Sposób 2 - Wzór \(P = r \cdot p\) (pole przez promień i półobwód)

**Istnieje elegancki wzór** wiążący pole trójkąta, promień okręgu wpisanego i półobwód:

\[P = r \cdot p, \quad \text{gdzie } p = \frac{a + b + c}{2}\]

Z Metody 1 wiemy, że \(a = 12\), \(b = 5\), \(c = 13\).

Obliczamy półobwód:

\[p = \frac{12 + 5 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15\]

Pole:

\[P = r \cdot p = 2 \cdot 15 = \mathbf{30}\]

Wynik zgodny - **pole trójkąta \(ACB = 30\)**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - dla trójkąta prostokątnego:
\[r = \frac{a + b - c}{2}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, by powiązać promień wpisanego okręgu z bokami trójkąta.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wzór ogólny na pole przez promień okręgu wpisanego:
\[P = p \cdot r, \quad p = \frac{a+b+c}{2}\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyliśmy do wyznaczenia długości drugiej przyprostokątnej.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Pomylenie wzoru: wzięcie \(r = \frac{a - b + c}{2}\) zamiast \(\frac{a+b-c}{2}\) - błędny znak przy \(c\) |
| C | Przyjęcie \(r = \frac{a + b - c}{2}\), ale podstawienie \(r\) po obu stronach bez przeniesienia - błąd algebraiczny przy rozwiązywaniu układu |
| D | Policzenie pola jako \(\frac{1}{2} \cdot c \cdot b\) (z przeciwprostokątną zamiast drugą przyprostokątną) - \(\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5 = 32{,}5\), a potem zaokrąglenie do 35 |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(r = \frac{a+b-c}{2}\) dotyczy **tylko trójkąta prostokątnego** - nie stosuj go do innych trójkątów! W ogólnym przypadku używaj \(P = r \cdot p\).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który bok jest przeciwprostokątną. Pamiętaj: kąt prosty jest przy \(C\), więc **przeciwprostokątna to \(AB\)**, a \(AC\) i \(BC\) to przyprostokątne.

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(a = 12\) sprawdź Pitagorasa: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✓ - to słynna trójka pitagorejska \((5, 12, 13)\).

**Poprawna odpowiedź: \(P_{ACB} = 30\)**

### Sposób 1 - Dwa wzory na pole
Oznaczenia: \(|AC| = 5\), \(|CB| = a\) (druga przyprostokątna), \(|AB| = c\) (przeciwprostokątna), \(r = 2\).

Pole trójkąta na dwa sposoby:
\[P_{ACB} = \tfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |CB| = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot a = \tfrac{5a}{2}.\]
\[P_{ACB} = p\cdot r = \tfrac{|AC|+|CB|+|AB|}{2}\cdot r = \tfrac{5+a+c}{2}\cdot 2 = 5+a+c.\]

Stąd równanie:
\[\tfrac{5a}{2} = 5 + a + c \;\Longrightarrow\; c = \tfrac{5a}{2} - a - 5 = \tfrac{3a}{2} - 5.\]

Z Pitagorasa: \(5^2 + a^2 = c^2\):
\[25 + a^2 = \left(\tfrac{3a}{2} - 5\right)^2 = \tfrac{9a^2}{4} - 15a + 25\]
\[a^2 = \tfrac{9a^2}{4} - 15a\]
\[\tfrac{5a^2}{4} = 15a\]
\[a = 12 \quad (a \neq 0).\]

Pole: \(P_{ACB} = \tfrac{5\cdot 12}{2} = 30.\)

### Sposób 2 - Wzór \(r = \tfrac{a+b-c}{2}\) dla trójkąta prostokątnego
Dla trójkąta prostokątnego: \(r = \tfrac{|AC|+|CB|-|AB|}{2}\) (promień okręgu wpisanego). Stąd:
\[2 = \tfrac{5 + a - c}{2} \Rightarrow c = a + 1.\]
Pitagoras: \(25 + a^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1\), więc \(2a = 24\), \(a = 12\). Pole = \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12 = 30.\)

### Uwagi o punktacji (wg schematu CKE)
- **1 pkt:** zapisanie zależności między długościami boków, np. \(5^2 + a^2 = c^2\) lub \(a + c + 5 = \tfrac{5}{2}a\), lub \(2 = \tfrac{5+a-c}{2}\).
- **2 pkt:** zapisanie układu dwóch równań pozwalającego wyznaczyć długość przyprostokątnej \(BC\).
- **3 pkt:** zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. \(5^2+a^2 = (\tfrac{3}{2}a-5)^2\) lub \((a+1)^2 = a^2 + 5^2\).
- **4 pkt:** obliczenie pola \(P_{ACB} = 30\).

**Trik:** Dla trójkąta prostokątnego \(r = \tfrac{a+b-c}{2}\) (przyprostokątne \(a, b\), przeciwprostokątna \(c\)) - prościej niż liczenie półobwodu.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (4 pkt) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 2 60 cm . Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej te
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2022-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) Dany jest romb 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna 𝐴𝐶 ma długość 24 cm (zobacz rysunek poniżej). Oblicz długość przekątnej 𝑩𝑫
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-2) Dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie 𝑆. Średnica 𝐴𝐵 tego okręgu przecina cięciwę 𝐶𝐷 w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek). Ponadto: |𝑃𝐵| = 4, |𝑃𝐶| = 8 
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Arkusz ćwic

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_