# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
4
log
6
log
2
3
3
jest równa
A. 4
B. 2
C.
2
log
2
3
D.
8
log3
Liczba 2log_3 6 - log_3 4 jest równa A. 4, B. 2, C. 2log_3 2, D. log_3 8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Liczba \(\log_{4} 96 - \log_{4} 6 = 2\)

## Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu

Korzystamy z wzoru \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\):

\[\log_{4} 96 - \log_{4} 6 = \log_{4} \frac{96}{6} = \log_{4} 16\]

Teraz obliczamy \(\log_{4} 16\). Pytamy: **do jakiej potęgi podnieść 4, żeby dostać 16?**

\[4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x = 2\]

Zatem:

\[\log_{4} 16 = 2\]

**Wynik: \(2\)**

## Sposób 2 - zamiana na potęgi dwójki

Zapiszmy wszystko w postaci potęg liczby 2:
\[96 = 2^5 \cdot 3, \quad 6 = 2 \cdot 3, \quad 4 = 2^2\]

\[\log_{4} 96 - \log_{4} 6 = \log_{2^2}(2^5 \cdot 3) - \log_{2^2}(2 \cdot 3)\]

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b\):

\[= \frac{1}{2}\log_2(2^5 \cdot 3) - \frac{1}{2}\log_2(2 \cdot 3)\]

\[= \frac{1}{2}\bigl(\log_2(2^5 \cdot 3) - \log_2(2 \cdot 3)\bigr)\]

\[= \frac{1}{2} \cdot \log_2 \frac{2^5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot \log_2 \frac{2^5}{2}\]

\[= \frac{1}{2} \cdot \log_2 2^4 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\]

**Wynik: \(2\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność różnicy logarytmów:
\[\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, by zamienić \(\log_4 96 - \log_4 6\) na \(\log_4 \frac{96}{6}\).

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:
\[\log_a b = c \iff a^c = b\]
Użyliśmy tego do obliczenia \(\log_4 16 = 2\), bo \(4^2 = 16\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Odjęto argumenty zamiast podzielić: \(\log_4 96 - \log_4 6 \neq \log_4(96 - 6) = \log_4 90\). To klasyczna pomyłka - przy odejmowaniu logarytmów **dzielimy** argumenty, nie odejmujemy! |
| B | Pomylono podstawę logarytmu - wynik to liczba 2, ale ktoś mógł wziąć \(\log_6 96\) myśląc o stosunku liczb |
| C | Błąd o 2 w górę - np. policzono \(\log_4 96 - \log_4 6 = \log_4(96 \cdot 6)\) (dodawanie zamiast odejmowania) i wyszło \(\log_4 576 = \log_4 4^4 \approx \ldots\) - albo po prostu zgadywano |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, NIE różnicy: \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\). Odruch "odejmuję liczby pod logiem" to najczęstszy błąd na maturze!

> ⚠️ **Uwaga:** Żeby skorzystać ze wzoru \(\log_a x - \log_a y\), obie podstawy muszą być **takie same**. Tu obie to \(4\) - wszystko gra. Gdyby podstawy były różne, trzeba by najpierw zmienić podstawę.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\log_4 16\) warto sprawdzić: \(4^1 = 4\), \(4^2 = 16\), \(4^3 = 64\). Nie trzeba żadnych wzorów - to szybki rachunek pamięciowy.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Różnica logarytmów
Ze wzoru \(\log_a x - \log_a y = \log_a \tfrac{x}{y}\) (karta wzorów, Dział 1):
\[\log_4 96 - \log_4 6 = \log_4 \tfrac{96}{6} = \log_4 16 = \log_4 4^2 = 2.\]

### Sposób 2 - Rozbicie logarytmu
\(\log_4 96 = \log_4(16\cdot 6) = \log_4 16 + \log_4 6 = 2 + \log_4 6\). Wtedy:
\[\log_4 96 - \log_4 6 = 2 + \log_4 6 - \log_4 6 = 2.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\log_4 90\)** - ktoś odjął liczby \(96 - 6 = 90\) zamiast użyć własności logarytmu.
- **B. \(\log_6 96\)** - pomylenie zasad: podstawy nie zmieniamy przy odejmowaniu.
- **C. 4** - ktoś obliczył \(\log_4 4^4\) = 4 (błąd rachunkowy na \(\log_4 16\)).

**Trik:** Różnica logarytmów o tej samej podstawie = logarytm ilorazu.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_