# Matematyka — zadanie 5 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/5 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Trygonometria, równania i nierówności ## Treść Zadanie 15. (0-1) Dla pewnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość 4cosα = 1. Miara kąta α jest A. mniejsza od 30°. B. równa 30°. C. równa 45°. D. większa od 60°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(a = 1\) ## Sposób 1 - Rozwinięcie lewej strony i porównanie Rozwijamy lewą stronę korzystając ze wzoru \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\): \[(a + 2\sqrt{3})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\] \[= a^2 + 4a\sqrt{3} + 4 \cdot 3\] \[= a^2 + 12 + 4a\sqrt{3}\] Prawa strona to \(13 + 4\sqrt{3}\). Przyrównujemy obie strony: \[a^2 + 12 + 4a\sqrt{3} = 13 + 4\sqrt{3}\] **Porównujemy wyrazy "racjonalne" i "przy \(\sqrt{3}\)" osobno** (lewa i prawa strona muszą zgadzać się w obu składnikach): **Wyraz przy \(\sqrt{3}\):** \[4a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \implies a = 1\] **Wyraz wolny (sprawdzenie):** \[a^2 + 12 = 13 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1\] Oba warunki spełnia \(\boxed{a = 1}\) (dla \(a = -1\) wyraz przy \(\sqrt{3}\) daje \(-4\sqrt{3} \neq 4\sqrt{3}\)). ## Sposób 2 - Podstawienie i weryfikacja Podstawiamy każdą odpowiedź i sprawdzamy, czy równość zachodzi. **Sprawdzamy \(a = 1\):** \[(1 + 2\sqrt{3})^2 = 1 + 4\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\sqrt{3} \checkmark\] Lewa strona równa prawej - odpowiedź B jest poprawna. Dla pewności sprawdzamy \(a = 0\) (odpowiedź C): \[(0 + 2\sqrt{3})^2 = 12 \neq 13 + 4\sqrt{3}\] Nierówne - eliminujemy. ## Wzory z karty CKE **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy: \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozwinięcia \((a + 2\sqrt{3})^2\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | Uczeń "widzi" \(13\) pod pierwiastkiem i pisze \(a = \sqrt{13}\), nie rozwijając kwadratu | | C | Uczeń ignoruje wyraz wolny i sprawdza tylko, czy \((2\sqrt{3})^2 = 12\), "blisko 13" - błąd szacowania | | D | Uczeń sumuje \(\sqrt{13} + 1\) myśląc, że da to efekt sumy pod kwadratem - błędna intuicja | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \((a + 2\sqrt{3})^2\) pamiętaj, że \((2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\), a **nie** \(2 \cdot 3 = 6\). Potęgowanie dotyczy całego wyrażenia \(2\sqrt{3}\). > ⚠️ **Uwaga:** Porównując wyrazy po obu stronach, traktuj część "bez \(\sqrt{3}\)" i część "z \(\sqrt{3}\)" jako niezależne - to tak jak porównywanie części rzeczywistej i urojonej. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź \(a = -1\) spełnia warunek na wyraz wolny (\((-1)^2 + 12 = 13\)), ale już **nie** spełnia warunku na wyraz przy \(\sqrt{3}\) - to klasyczna pułapka, gdy sprawdzamy tylko jeden warunek. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia Ze wzoru \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) (karta wzorów, Dział 1): \[(a + 2\sqrt{3})^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = a^2 + 4a\sqrt{3} + 12.\] Porównując z \(13 + 4\sqrt{3}\): - część wymierna: \(a^2 + 12 = 13 \Rightarrow a^2 = 1\) - część niewymierna: \(4a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \Rightarrow a = 1\). Oba warunki spełnia \(a = 1\). ### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi Dla \(a = 1\): \((1 + 2\sqrt{3})^2 = 1 + 4\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\sqrt{3}\) ✓. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(a = \sqrt{13}\)** - ktoś wziął pierwiastek z części wymiernej 13, zapominając o 12 z \((2\sqrt{3})^2\). - **C. \(a = 0\)** - daje \((2\sqrt{3})^2 = 12 \neq 13 + 4\sqrt{3}\). - **D. \(a = \sqrt{13} + 1\)** - daje kwadrat z członem \(2\sqrt{13}\), który nie pasuje. **Trik:** Porównujemy osobno części wymierne i niewymierne. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/5) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F5) ## Podobne zadania - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-3) Rozwiąż nierówność ( )( ) 2sin 3 2sin 1 0 x x > w przedziale (0,2π) x∈ MMA_1R Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż nierówność (2*sin x - 3)(2*sin x + 1) - [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-2) Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶= 4 5 . Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia. 24. 0-1-2 MMAP-P0_100 Dany je - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-2) Kąt 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= 2. Oblicz wartość wyrażenia sin2 𝛼. Wypełnia egzaminator Nr zadania 31. 32. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana liczba pkt - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Kąt α jest ostry i 5 tg 12 α = . Oblicz cosα . Odpowiedź: Kąt alfa jest ostry i tg alfa = 5/12. Oblicz cos alfa. _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_