# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Układy równań

## Treść

Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).

Wskaż ten układ.

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-184/z6.png

jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi x i y . Wskaż ten układ.

A. \(\begin{cases} y = -2x + 8 \\ y = -\tfrac{3}{2}x + \tfrac{13}{2} \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2} \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} y = x - 1 \\ y = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{2} \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} y = 3x - 7 \\ y = -\tfrac{2}{3}x + 4 \end{cases}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\[\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2} \end{cases}\]

## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt przecięcia + nachylenie prostych

**Krok 1: Znajdź punkt przecięcia prostych z wykresu.**

Z rysunku odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie \((3, 2)\).

Sprawdzamy, które układy mają rozwiązanie \(x = 3, y = 2\):

**Układ A:**
\[y = -2 \cdot 3 + 8 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = -\tfrac{3}{2}\cdot 3 + \tfrac{13}{2} = -\tfrac{9}{2}+\tfrac{13}{2} = 2 \checkmark\]

**Układ B:**
\[y = 2 \cdot 3 - 4 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = -\tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2} = 2 \checkmark\]

**Układ C:**
\[y = 3 - 1 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = \tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{1}{2} = 2 \checkmark\]

**Układ D:**
\[y = 3 \cdot 3 - 7 = 2 \checkmark \quad \text{i} \quad y = -\tfrac{2}{3}\cdot 3 + 4 = 2 \checkmark\]

**Wniosek:** Wszystkie cztery układy mają ten sam punkt przecięcia \((3, 2)\). Punkt przecięcia nie rozstrzyga - musimy przeanalizować nachylenie i położenie prostych.

**Krok 2: Odczytaj znaki współczynników kierunkowych (nachylenie prostych).**

Z wykresu widać, że:
- **jedna prosta biegnie w górę** (z lewej dolnej do prawej górnej) → dodatni współczynnik kierunkowy
- **druga prosta biegnie w dół** (z lewej górnej do prawej dolnej) → ujemny współczynnik kierunkowy

Eliminujemy układy, w których **obie** proste mają ten sam znak nachylenia:

| Układ | Współczynniki kierunkowe | Ocena |
| A | \(-2\) i \(-\tfrac{3}{2}\) | Obie proste opadają - **niezgodne z wykresem** ❌ |
| B | \(2\) i \(-\tfrac{1}{2}\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |
| C | \(1\) i \(\tfrac{1}{2}\) | Obie proste rosną - **niezgodne z wykresem** ❌ |
| D | \(3\) i \(-\tfrac{2}{3}\) | Jedna rośnie, druga opada ✓ |

**Pozostały układy B i D.**

**Krok 3: Porównaj kąt między prostymi (prostopadłość).**

Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:

**Układ B:**
\[2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -1\]
Iloczyn równy \(-1\) oznacza, że proste są **prostopadłe** - kąt między nimi wynosi \(90°\).

**Układ D:**
\[3 \cdot \left(-\tfrac{2}{3}\right) = -2 \neq -1\]
Proste **nie są prostopadłe**.

Z wykresu widać, że proste przecinają się pod kątem prostym (lub bardzo bliskim \(90°\)).

**Zatem poprawna odpowiedź to B.**

## Sposób 2 - Odczyt miejsc przecięcia z osiami

Skoro wiemy, że mamy sprawdzić tylko układy B i D, odczytujemy z wykresu, gdzie proste przecinają oś \(OX\) i \(OY\).

**Układ B:**
- Prosta \(y = 2x - 4\): przecina \(OX\) w \(x = 2\) (bo \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)), przecina \(OY\) w \(y = -4\)
- Prosta \(y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}\): przecina \(OX\) w \(x = 7\), przecina \(OY\) w \(y = 3{,}5\)

**Układ D:**
- Prosta \(y = 3x - 7\): przecina \(OX\) w \(x = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}33\), przecina \(OY\) w \(y = -7\)
- Prosta \(y = -\tfrac{2}{3}x + 4\): przecina \(OX\) w \(x = 6\), przecina \(OY\) w \(y = 4\)

Z wykresu odczytujemy:
- Prosta rosnąca przecina \(OY\) gdzieś około \(y = -4\) (a nie \(y = -7\))
- Prosta rosnąca przecina \(OX\) w \(x = 2\) (a nie w \(x \approx 2{,}33\))

Oba odczyty wskazują na **układ B**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:
\[y = ax + b\]
gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia prostej do osi \(OX\)).

Kryterium prostopadłości prostych:
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
Użyliśmy go w Kroku 3 do rozróżnienia układów B i D.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń sprawdza tylko punkt przecięcia \((3,2)\) - układ A go spełnia, ale **obie proste mają ujemne nachylenie**, co jest niezgodne z wykresem |
| C | Podobnie - punkt \((3,2)\) się zgadza, ale **obie proste rosną** (nachylenie dodatnie), wykres pokazuje proste o różnych znakach nachylenia |
| D | Najtrudniejszy błąd: proste mają właściwe znaki nachylenia, ale uczeń nie sprawdza dokładniej ani kąta, ani przecięć z osiami |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Samo sprawdzenie punktu przecięcia nie wystarczy - w tym zadaniu **wszystkie cztery układy** mają rozwiązanie \(x=3, y=2\). Musisz przeanalizować kształt wykresu.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu nachylenia prostej z wykresu zwracaj uwagę na **znaki** (rośnie/maleje) i przybliżoną **stromość** - prosta o współczynniku \(a = 2\) jest wyraźnie mniej stroma niż \(a = 3\).

> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość prostych (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)) to bardzo przydatny test - jeśli na wykresie proste wyraźnie przecinają się pod kątem prostym, szukaj układu spełniającego ten warunek.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Odczyt współczynników z wykresu
Na wykresie jedna prosta rosnąca (stromo) przechodzi przez \((2,0)\) i \((3,2)\) - to daje \(a = 2\) i punkt przecięcia osi \(Oy\) w \(-4\). Czyli: \(y = 2x - 4\). Druga prosta maleje i przecina oś \(Oy\) w \(\tfrac{7}{2}\), ma współczynnik \(-\tfrac{1}{2}\). Odpowiedź: B.

### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu przecięcia
Z wykresu widzimy, że proste przecinają się w okolicy punktu \((3, 2)\). Sprawdzamy B: \(y = 2\cdot 3 - 4 = 2\) ✓, \(y = -\tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2} = 2\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Obie proste malejące, ale na wykresie jedna rosnąca.
- **C.** Obie proste rosnące, niezgodne z wykresem.
- **D.** Sprawdzenie: proste przecinają się w punkcie \((3, 2)\): \(3\cdot 3 - 7 = 2\) ✓, \(-\tfrac{2}{3}\cdot 3 + 4 = 2\) ✓ - punkt pasuje, ale współczynnik kierunkowy \(3\) jest zbyt stromy wobec obrazu.

**Trik:** Identyfikuj po znaku współczynnika kierunkowego (monotoniczność) i punkcie przecięcia z osią Oy.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2408/zad/8) — Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A--D. Dokończ zdanie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-200-a-2405/zad/11) — Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A--D. Dokończ zdanie
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5) — Wskaż ten układ równań, którego interpretację przedstawiono na rysunku. /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z5.png przedstawiono interpretację geometryczną 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-emap-p0-100-2305/zad/5) — Wskaż ten układ równań, którego interpretację przedstawiono na rysunku. /matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z5.png przedstawiono interpretację geometryczną 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_