# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje, geometria analityczna

## Treść

Zadanie 8. (0-1)
Dane są funkcje
( )
x
x
f
3
oraz
( )
(
)
g x
f
x
, określone dla wszystkich liczb
rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g
A. nie istnieje.
B. ma współrzędne (
)
1, 0 .
C. ma współrzędne (
)
0,1 .
D. ma współrzędne (
)
0, 0 .
Dane są funkcje f(x) = 3^x oraz g(x)=f(-x), określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Punkt wspólny wykresów funkcji f i g A.nie istnieje. B. ma współrzędne (1,0). C ma współrzędne (0,1). D. ma współrzędne (0,0).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - punkt wspólny ma współrzędne \((0, 1)\)

## Sposób 1 - algebraiczne wyznaczenie punktu wspólnego

Punkt wspólny wykresów \(f\) i \(g\) spełnia równanie \(f(x) = g(x)\).

**Krok 1: Wyznacz wzór funkcji \(g\).**

\[g(x) = f(-x) = 3^{-x}\]

**Krok 2: Przyrównaj funkcje.**

\[f(x) = g(x)\]
\[3^x = 3^{-x}\]

**Krok 3: Rozwiąż równanie wykładnicze.**

Podstawy są jednakowe (\(3\)), więc wykładniki muszą być równe:
\[x = -x\]
\[2x = 0\]
\[x = 0\]

**Krok 4: Wyznacz współrzędną \(y\).**

\[y = f(0) = 3^0 = 1\]

**Punkt wspólny to \((0, 1)\).**

## Sposób 2 - rozumowanie z definicji funkcji symetrycznej

Funkcja \(g(x) = f(-x)\) to **odbicie wykresu \(f\) symetrycznie względem osi \(OY\)**.

Jeśli wykres funkcji \(f\) przecina się z jej lustrzanym odbiciem, to punkt wspólny musi leżeć **dokładnie na osi symetrii** - czyli na osi \(OY\), gdzie \(x = 0\).

Sprawdzamy wartość obu funkcji dla \(x = 0\):
\[f(0) = 3^0 = 1\]
\[g(0) = 3^{-0} = 3^0 = 1\]

Obie funkcje przechodzą przez punkt \((0, 1)\). **Punkt wspólny to \((0, 1)\)** - co potwierdza odpowiedź C.

> Wniosek ogólny: **każda funkcja wykładnicza \(a^x\)** (dla \(a > 0\)), niezależnie od podstawy, przecina swoje lustrzane odbicie \(a^{-x}\) zawsze w punkcie \((0, 1)\), bo \(a^0 = 1\) dla każdego \(a > 0\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:
\[a^0 = 1\]
Użyliśmy tego, obliczając \(3^0 = 1\) - czyli współrzędną \(y\) punktu wspólnego.

**Dział 3 (Logarytmy / funkcje wykładnicze, s. 5-6)** - zasada:
\[a^x = a^y \iff x = y \quad (\text{dla } a > 0,\ a \neq 1)\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, by z równania \(3^x = 3^{-x}\) wyciągnąć \(x = -x\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń może myśleć, że funkcje wykładnicza i jej odbicie nigdy się nie przecinają. Tymczasem przecinają się zawsze - w punkcie \((0,1)\). |
| B | Współrzędne \((1, 0)\) to błąd - funkcja \(3^x\) nigdy nie przyjmuje wartości \(0\) (wykładnicza zawsze \(> 0\)), więc żaden punkt wykresu nie leży na osi \(OX\). |
| D | Punkt \((0, 0)\) oznaczałby \(3^0 = 0\), co jest fałszywe (\(3^0 = 1\)). Być może uczeń myli z funkcją liniową przechodzącą przez początek układu. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(g(x) = f(-x)\) to **nie** to samo co \(g(x) = -f(x)\)! Zapis \(f(-x)\) oznacza podstawienie \(-x\) w miejsce \(x\) (symetria względem \(OY\)), a nie zmianę znaku wartości funkcji (symetria względem \(OX\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja wykładnicza \(a^x\) (dla \(a > 0\)) **nigdy nie osiąga wartości \(0\) ani ujemnych** - jej dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste, ale zbiór wartości to \((0, +\infty)\). Punkt przecięcia z osią \(OX\) nie istnieje!

> ⚠️ **Uwaga:** \(a^0 = 1\) dla każdej dopuszczalnej podstawy \(a > 0,\ a \neq 1\). To sprawia, że wszystkie funkcje postaci \(a^x\) przecinają oś \(OY\) w tym samym punkcie \((0, 1)\) - niezależnie od \(a\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \(f(x) = g(x)\)
\(g(x) = f(-x) = 3^{-x}\). Szukamy \(x\) takiego, że \(3^x = 3^{-x}\):
\[x = -x \;\Longrightarrow\; 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0.\]
Wartość: \(f(0) = 3^0 = 1\). Punkt wspólny: \((0, 1)\).

### Sposób 2 - Symetria wykresów
Wykresy \(y = 3^x\) i \(y = 3^{-x} = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x\) są symetryczne względem osi \(Oy\). Przecinają się dokładnie na osi \(Oy\), w punkcie \((0, 1)\) - bo każda funkcja wykładnicza \(a^x\) z \(a>0\) przechodzi przez \((0,1)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Wykresy przecinają się (na osi Oy), więc punkt wspólny istnieje.
- **B. \((1,0)\)** - \(3^1 = 3 \neq 0\). Funkcja wykładnicza nie przyjmuje zera.
- **D. \((0,0)\)** - \(3^0 = 1 \neq 0\).

**Trik:** Każda funkcja wykładnicza \(a^x\) (z \(a>0,\ a\neq 1\)) przechodzi przez \((0, 1)\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_