# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Rozwiązaniem równania (
) (
)
2
2
2
3
9
0
1
x
x
x
x
⋅
nie jest liczba
A.
3
B.
1
C. 1
D. 3
Rozwiązanie zadania. Rozwiązaniem równania (x^2-2x-3)⋅(x^2-9) / x-1 = 0 nie jest liczba A. -3 B. -1 C. 1 D. 3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Liczba \(x = 1\) **nie jest** rozwiązaniem równania, ponieważ zeruje mianownik - wyrażenie jest wtedy niezdefiniowane.

## Sposób 1 - Analiza dziedziny i rozkład na czynniki

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.**

Ułamek istnieje tylko wtedy, gdy mianownik \(\neq 0\):
\[x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1\]

Zatem \(x = 1\) jest **z góry wykluczone** z dziedziny - nie może być rozwiązaniem.

**Krok 2: Rozłóż licznik na czynniki.**

\[x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\]
(szukamy dwóch liczb, których suma = \(-2\), iloczyn = \(-3\): to \(-3\) i \(1\))

\[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\]
(różnica kwadratów: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\))

Równanie przyjmuje postać:
\[\frac{(x-3)(x+1) \cdot (x-3)(x+3)}{x-1} = 0\]

\[\frac{(x-3)^2(x+1)(x+3)}{x-1} = 0\]

**Krok 3: Rozwiąż równanie.**

Ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0** (przy założeniu, że mianownik \(\neq 0\)):
\[(x-3)^2(x+1)(x+3) = 0\]

\[x = 3 \quad \lor \quad x = -1 \quad \lor \quad x = -3\]

Każde z tych trzech nie zeruje mianownika (\(x \neq 1\)) - są w dziedzinie.

**Zbiór rozwiązań: \(\{-3, -1, 3\}\)**

Liczba \(x = 1\) **nie należy** do zbioru rozwiązań.

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy po kolei każdą z czterech odpowiedzi:

**A. \(x = -3\):**
\[\frac{(9 + 6 - 3)(9 - 9)}{-3 - 1} = \frac{12 \cdot 0}{-4} = \frac{0}{-4} = 0 \checkmark\]
- jest rozwiązaniem.

**B. \(x = -1\):**
\[\frac{(1 + 2 - 3)(1 - 9)}{-1 - 1} = \frac{0 \cdot (-8)}{-2} = \frac{0}{-2} = 0 \checkmark\]
- jest rozwiązaniem.

**C. \(x = 1\):**
\[\frac{(1 - 2 - 3)(1 - 9)}{1 - 1} = \frac{(-4)(-8)}{0} = \frac{32}{0}\]
- **wyrażenie niezdefiniowane!** Nie jest rozwiązaniem. ✗

**D. \(x = 3\):**
\[\frac{(9 - 6 - 3)(9 - 9)}{3 - 1} = \frac{0 \cdot 0}{2} = \frac{0}{2} = 0 \checkmark\]
- jest rozwiązaniem.

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyte do rozłożenia \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).

W tym zadaniu nie używamy innych konkretnych wzorów z karty - wystarczy rozkład trójmianu kwadratowego i definicja dziedziny ułamka.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wartość | Błąd prowadzący do błędnego wyboru |
| A: \(-3\) | Jest rozwiązaniem | Uczeń myli - zeruje \((x^2 - 9)\), więc całość = 0, mianownik \(\neq 0\) |
| B: \(-1\) | Jest rozwiązaniem | Uczeń myli - zeruje \((x^2 - 2x - 3)\), więc całość = 0 |
| D: \(3\) | Jest rozwiązaniem | Uczeń myli - zeruje **oba** czynniki w liczniku jednocześnie, wciąż = 0 |

Typowy błąd: uczeń widzi \(x = 3\) i myśli „to jest blisko \(x = 1\), na pewno coś z tym nie tak" - ale \(3 \neq 1\), więc mianownik \(\neq 0\) i \(x = 3\) jest poprawnym rozwiązaniem.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli jakaś wartość zeruje i licznik, i mianownik jednocześnie, **nie ma skracania** - wyrażenie jest niezdefiniowane w tej wartości. Nie wolno „skrócić" i stwierdzić, że to rozwiązanie.

> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi „*nie jest* rozwiązaniem" - trzeba szukać wartości **wykluczonej**, a nie tej, która spełnia równanie. Łatwo przez nieuwagę odpowiedzieć odwrotnie.

> ⚠️ **Uwaga:** \(x = 3\) zeruje licznik podwójnie - \((x-3)^2\) - ale to bez znaczenia; liczy się tylko to, że wynik to 0, a mianownik \(\neq 0\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Rozkład na czynniki
Licznik: \(x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)\) oraz \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).
Równanie: \(\dfrac{(x-3)(x+1)(x-3)(x+3)}{x-1} = 0\).
Dziedzina: \(x \neq 1\). Rozwiązania licznika: \(x \in \{-3, -1, 3\}\).
Liczba \(1\) **nie należy do dziedziny**, więc nie jest rozwiązaniem.

### Sposób 2 - Sprawdzenie podstawień
- \(x=-3\): licznik \(= 12 \cdot 0 = 0\), mianownik \(\neq 0\) ✓
- \(x=-1\): licznik \(= 0 \cdot (-8) = 0\) ✓
- \(x=1\): mianownik \(= 0\) - **nie ma sensu!**
- \(x=3\): licznik \(= 0 \cdot 0 = 0\) ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B, D** - to rozwiązania (miejsca zerowe licznika).
- **C** - \(x=1\) zeruje mianownik, więc wykluczone z dziedziny.

**Trik:** sprawdź zawsze mianownik przed liczeniem - dziedzina wyklucza zera mianownika.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_