# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
W ciągu (
)
na
określonym dla każdej liczby
1
n ≥ jest spełniony warunek
Wtedy
A.
5
54
a = -
B.
5
27
a = -
C.
5
27
a =
D.
5
54
a =
Rozwiązanie zadania. W ciągu (a_n) określonym dla każdej liczby n≥1 jest spełniony warunek a_{n+3} = -2⋅3^{n+1}. Wtedy A. a_5=-54 B. a_5=-27 C. a_5=27 D. a_5=54

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(a_5 = -54\)

## Sposób 1 - Podstawienie odpowiedniego \(n\)

Mamy dany wzór:
\[a_{n+3} = -2 \cdot 3^{n+1}\]

Chcemy obliczyć \(a_5\). Pytamy: **dla jakiego \(n\) wyrażenie \(a_{n+3}\) daje \(a_5\)?**

\[n + 3 = 5 \implies n = 2\]

Podstawiamy \(n = 2\) do wzoru:
\[a_5 = a_{2+3} = -2 \cdot 3^{2+1} = -2 \cdot 3^3 = -2 \cdot 27 = \mathbf{-54}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie kilku wyrazów

Zamiast od razu obliczać \(a_5\), wypiszmy kolejne wyrazy, żeby mieć pewność co do wzorca.

Dla \(n = 1\):
\[a_4 = -2 \cdot 3^{1+1} = -2 \cdot 3^2 = -2 \cdot 9 = -18\]

Dla \(n = 2\):
\[a_5 = -2 \cdot 3^{2+1} = -2 \cdot 3^3 = -2 \cdot 27 = -54\]

Dla \(n = 3\):
\[a_6 = -2 \cdot 3^{3+1} = -2 \cdot 3^4 = -2 \cdot 81 = -162\]

Sprawdzamy: każdy kolejny wyraz jest 3 razy większy co do wartości bezwzględnej (bo wykładnik rośnie o 1), wyniki mają sens. \(a_5 = \mathbf{-54}\). ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE** - wystarczy bezpośrednie podstawienie do podanego wzoru ogólnego i obliczenie potęgi \(3^3 = 27\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **B** \((-27)\) | Pominięcie czynnika \(2\): obliczono \(-3^3 = -27\) zamiast \(-2 \cdot 3^3\) |
| **C** \((27)\) | Pominięcie znaku minus: obliczono \(3^3 = 27\) zamiast \(-2 \cdot 3^3\) |
| **D** \((54)\) | Pominięcie znaku minus: obliczono \(2 \cdot 3^3 = 54\) zamiast \(-2 \cdot 3^3\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to podstawienie \(n = 5\) zamiast \(n = 2\). Pamiętaj - wzór mówi o wyrazie \(a_{n+3}\), więc musisz rozwiązać \(n + 3 = 5\), co daje \(n = 2\), a nie \(n = 5\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik to \(n + 1\), a nie samo \(n\) - po podstawieniu \(n = 2\) masz \(3^{2+1} = 3^3 = 27\). Łatwo przez nieuwagę policzyć \(3^2 = 9\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik jest ujemny - nie zapomnij o znaku minus przed całym wyrażeniem \(-2 \cdot 3^{n+1}\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Podstawienie \(n=2\)
Wzór: \(a_{n+3} = -2 \cdot 3^{n+1}\). Aby wyznaczyć \(a_5\), bierzemy \(n+3 = 5\), czyli \(n=2\).
\[a_{5} = -2 \cdot 3^{2+1} = -2 \cdot 3^{3} = -2 \cdot 27 = -54.\]

### Sposób 2 - Przekształcenie wzoru
Z \(n+3 = k\) wynika \(n = k-3\), zatem \(a_k = -2 \cdot 3^{k-2}\). Dla \(k=5\): \(a_5 = -2 \cdot 3^3 = -54\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(-27\)** - zapomniano pomnożyć przez \(-2\), tylko \(-3^3\).
- **C. \(27\)** - zignorowano znak "\(-\)".
- **D. \(54\)** - znak dodatni zamiast ujemnego.

**Trik:** zawsze dopasuj podany wzór do indeksu, który chcesz wyliczyć.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Widownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym następny
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (4 pkt) Ania przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzedni
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Pierwszy wyraz ciągu ( ) na , określonego dla 1 ≥ n , jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek 2 1 3 = ⋅ n n a a n . Oblicz 
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_