# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Wyrażenia algebraiczne

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (
)
(
)(
)
2
3
2
2
3
2
3
x
x
x
jest po uproszczeniu
równe
A.
2
5
12
5
x
x
B.
2
5
13
x -
C.
2
5
12
13
x
x
D.
2
5
5
x +
Rozwiązanie zadania. Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (3x-2)^2-(2x-3)(2x+3) jest po uproszczeniu równe A. 5x^2-12x-5 B. 5x^2-13 C. 5x^2-12x+13 D. 5x^2+5

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\[5x^2 - 12x + 13\]

## Sposób 1 - Rozwinięcie wzorami skróconego mnożenia

Mamy wyrażenie:
\[(3x-2)^2 - (2x-3)(2x+3)\]

**Krok 1:** Rozwijamy \((3x-2)^2\) wzorem \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4\]

**Krok 2:** Rozwijamy \((2x-3)(2x+3)\) wzorem \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
\[(2x-3)(2x+3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\]

**Krok 3:** Odejmujemy drugi wynik od pierwszego:
\[(9x^2 - 12x + 4) - (4x^2 - 9)\]

Uwaga na znak minus przed nawiasem - każdy wyraz zmienia znak!

\[= 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 + 9\]

\[= \mathbf{5x^2 - 12x + 13}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości

Sprawdzamy dla \(x = 1\):

**Wyrażenie wyjściowe:**
\[(3 \cdot 1 - 2)^2 - (2 \cdot 1 - 3)(2 \cdot 1 + 3) = (1)^2 - (-1)(5) = 1 + 5 = 6\]

**Sprawdzamy odpowiedź C** dla \(x = 1\):
\[5 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 13 = 5 - 12 + 13 = 6\] ✓

Sprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla \(x = 1\) (powinny dać coś innego niż 6):
- A: \(5 - 12 - 5 = -12\) ✗
- B: \(5 - 13 = -8\) ✗
- D: \(5 + 5 = 10\) ✗

**Odpowiedź C jest jedyną pasującą - wynik potwierdzony.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**

- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Użyte do rozwinięcia \((3x-2)^2\).

- \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)
Użyte do rozwinięcia \((2x-3)(2x+3)\) - para suma/różnica.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Zamiast \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) uczeń liczy \((2x-3)(2x+3) = 4x^2 + 12x - 6x - 9 = 4x^2 + 6x - 9\) (myli kolejność znaków), przez co pojawia się składnik \(-12x\) po złej stronie i błędny wyraz wolny |
| B | Uczeń poprawnie liczy \((2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9\), ale przy \((3x-2)^2\) stosuje skrót \((3x)^2 + 2^2 = 9x^2 + 4\), **pomijając środkowy wyraz** \(-12x\) - klasyczny błąd przy kwadracie różnicy |
| D | Uczeń liczy \((3x-2)^2 = 9x^2 - 4\) (bierze \(2^2 = 4\) ale gubi \(-12x\) i znak), a wyraz wolny \(4 + 9 = 13\) zamienia na \(5\), co daje inne liczby |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu nawiasu \(-(4x^2 - 9)\) **zmień znak obu wyrazów**: dostaniesz \(-4x^2 + 9\). Bardzo częsty błąd to zostawienie \(-9\) zamiast \(+9\) - prowadzi do złego wyrazu wolnego.

> ⚠️ **Uwaga:** \((3x - 2)^2 \neq 9x^2 - 4\). Kwadrat różnicy ma **trzy wyrazy**, w tym środkowy \(-2 \cdot 3x \cdot 2 = -12x\). Pominięcie go to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn \((2x-3)(2x+3)\) to schemat \((a-b)(a+b)\) - od razu skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów, zamiast mnożyć wyraz po wyrazie. Szybciej i mniej miejsca na błąd.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia (karta wzorów)
\((3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\) (wzór \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)).
\((2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9\) (wzór \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)).
Różnica: \(9x^2 - 12x + 4 - (4x^2 - 9) = 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 + 9 = 5x^2 - 12x + 13\).

### Sposób 2 - Podstawienie \(x=0\)
\((3\cdot 0 - 2)^2 - (2\cdot 0 - 3)(2\cdot 0 + 3) = 4 - (-9) = 13\). Tylko **C** daje \(13\) przy \(x=0\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-12x-5\)** - błąd znaku przy \(-9\) (nie odjęto poprawnie).
- **B. \(-13\)** - pominięto człon \(-12x\).
- **D. \(+5\)** - dwa błędy: brak \(-12x\) i błąd stałej.

**Trik:** odejmowanie wyrażenia - rozdziel wszystkie znaki: \(-(A-B) = -A + B\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu ( ) 3 2 1 W x x ax bx + wiedząc, że ( ) 2 7 W oraz, że reszta z dzielenia ( ) W x przez ( ) 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wielomian 𝑊(𝑥) = 8𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥+ 3 jest iloczynem wielomianów 𝑃(𝑥) = 2𝑥+ 3 oraz 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wynikiem dzielenia wielomianu 5𝑥ଷ-7𝑥ଶ-4𝑥-4 przez dwumian 𝑥-2 jest trójmian kwadratowy postaci 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od 
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_