# Matematyka — zadanie 12 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/12 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Trygonometria ## Treść Zadanie 12. (0-1) Kąt ( ) 0 , 180 α ∈ ° ° oraz wiadomo, że 3 sin cos 8 α α ⋅ . Wartość wyrażenia ( ) 2 cos sin 2 α α jest równa A. B. C. D. Rozwiązanie zadania. Kąt α ∈ (0°,180°) oraz wiadomo, że sinα ⋅ cosα = -3/8. Wartość wyrażenia (cosα - sinα)² + 2 jest równa A. 15/4 B. 9/4 C. 27/8 D. 21/8 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\dfrac{15}{4}\) ## Sposób 1 - rozwinięcie kwadratu różnicy **Kluczowa obserwacja:** wyrażenie \((\cos\alpha - \sin\alpha)^2\) można rozwinąć i bezpośrednio podstawić dane. Rozwijamy kwadrat: \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha\] Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha\] Podstawiamy dane \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha = -\dfrac{3}{8}\): \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 1 - 2\cdot\left(-\frac{3}{8}\right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\] Dodajemy \(2\): \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{7}{4} + \frac{8}{4} = \boxed{\frac{15}{4}}\] ## Sposób 2 - przez sinus podwojonego kąta Zauważamy, że \(2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha\), więc: \[\sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{3}{4}\] Ponieważ \(\alpha \in (0°, 180°)\), mamy \(2\alpha \in (0°, 360°)\). Fakt, że \(\sin 2\alpha < 0\), oznacza \(2\alpha \in (180°, 360°)\), czyli **\(\alpha \in (90°, 180°)\)** - dane są spójne (dla kątów rozwartych \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha < 0\), więc iloczyn jest ujemny ✓). Teraz używamy związku: \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha = 1 - \sin 2\alpha\] \[= 1 - \left(-\frac{3}{4}\right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\] \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 + 2 = \frac{7}{4} + \frac{8}{4} = \frac{15}{4}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** Jedynka trygonometryczna: \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\] Użyta przy uproszczeniu \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\) do \(1\) po rozwinięciu kwadratu. Sinus podwojonego kąta (Sposób 2): \[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\] Pozwala wyrazić \(2\sin\alpha\cos\alpha\) przez \(\sin 2\alpha = -\dfrac{3}{4}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Wynik | Typowy błąd | | **B** | \(\dfrac{9}{4}\) | Pomieszano \((\cos\alpha - \sin\alpha)^2\) z \((\cos\alpha + \sin\alpha)^2\): to daje \(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\), a \(\frac{1}{4}+2 = \frac{9}{4}\). Albo: zignorowano znak minus przy \(\frac{3}{8}\) i liczono \(1 - 2\cdot\frac{3}{8} = \frac{1}{4}\). | | **C** | \(\dfrac{27}{8}\) | Zapomniano o czynniku \(2\) w \(2\sin\alpha\cos\alpha\) - wzięto \(1 - \sin\alpha\cos\alpha = 1+\frac{3}{8} = \frac{11}{8}\), a \(\frac{11}{8}+2 = \frac{27}{8}\). | | **D** | \(\dfrac{21}{8}\) | Podwójny błąd: zapomniano o czynniku \(2\) i zamieniono znak - wzięto \(1 + \sin\alpha\cos\alpha = 1-\frac{3}{8} = \frac{5}{8}\), a \(\frac{5}{8}+2 = \frac{21}{8}\). | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \((\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 1 - \mathbf{2}\sin\alpha\cos\alpha\) - **musi być mnożnik 2**. To najczęstszy błąd w tym zadaniu: zapomnienie czynnika 2 przy członie mieszanym. > ⚠️ **Uwaga:** \(\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{3}{8}\) ma **znak minus** - przy podstawieniu \(-2 \cdot (-\frac{3}{8})\) wychodzi \(+\frac{3}{4}\), nie \(-\frac{3}{4}\). Uważaj na podwójne przeczenie! > ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź czy dane są spójne. Tu: \(\alpha \in (90°, 180°)\) daje \(\sin\alpha > 0\) i \(\cos\alpha < 0\), więc iloczyn \(\sin\alpha\cos\alpha < 0\) - OK. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów) \((\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha\). Podstawiamy \(\sin\alpha\cos\alpha = -\tfrac{3}{8}\): \[(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 1 - 2\cdot\left(-\tfrac{3}{8}\right) = 1 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{7}{4}.\] Dodajemy \(2\): \(\tfrac{7}{4} + 2 = \tfrac{7}{4} + \tfrac{8}{4} = \tfrac{15}{4}\). ### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia bez jedynki \((\cos\alpha-\sin\alpha)^2 + 2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha + 2 = 1 + \tfrac{3}{4} + 2 = \tfrac{15}{4}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(\tfrac{9}{4}\)** - zignorowano dodawanie \(2\). - **C, D** - błędy znaku przy \(-\tfrac{3}{8}\) lub arytmetyka ułamków. **Trik:** \((\cos\alpha \pm \sin\alpha)^2 = 1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 \pm \sin 2\alpha\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/12) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F12) ## Podobne zadania - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (5 pkt) Kąt  jest taki, że 4 cos sin 3     . Oblicz wartość wyrażenia cos sin    Odpowiedź: Poziom rozszerzony 6 Kąt alfa jest taki, że cos a - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości 1, 3 2 , 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta. Nr czynności - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Kąt α jest ostry i spełnia warunek 2sin 3cos 4 cos α α α . Oblicz tangens kąta Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 30. 31. Maks. liczba - [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (2 pkt) Kąt α jest ostry i ( ) 2 3 sin cos 2 α α . Oblicz wartość wyrażenia sin cos α α ⋅ Odpowiedź: Poziom podstawowy MMA_1P _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_