# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria, równania i nierówności

## Treść

Wartość wyrażenia 2sin2 \(18^{\circ}\)+ sin2 \(72^{\circ}\)+ cos2 \(18^{\circ}\) jest równa

A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(4\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - wartość wyrażenia wynosi \(2\)

## Sposób 1 - wzór redukcyjny + jedynka trygonometryczna

**Kluczowa obserwacja:** \(72° = 90° - 18°\), więc ze wzoru redukcyjnego:
\[\sin 72° = \sin(90° - 18°) = \cos 18°\]

Podstawiamy do wyrażenia:
\[2\sin^2 18° + \sin^2 72° + \cos^2 18°\]
\[= 2\sin^2 18° + \cos^2 18° + \cos^2 18°\]
\[= 2\sin^2 18° + 2\cos^2 18°\]
\[= 2\bigl(\sin^2 18° + \cos^2 18°\bigr)\]

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 18° + \cos^2 18° = 1\):
\[= 2 \cdot 1 = \boxed{2}\]

## Sposób 2 - wyłącz jedynkę od razu

Rozbijamy jeden \(\sin^2 18°\) na kawałki inaczej - wyłączamy jedynkę "w środku":
\[2\sin^2 18° + \sin^2 72° + \cos^2 18°\]
\[= \sin^2 18° + \underbrace{(\sin^2 18° + \cos^2 18°)}_{=\,1} + \sin^2 72°\]
\[= \sin^2 18° + 1 + \sin^2 72°\]

Teraz znowu używamy \(\sin 72° = \cos 18°\):
\[= \underbrace{(\sin^2 18° + \cos^2 18°)}_{=\,1} + 1\]
\[= 1 + 1 = \boxed{2}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**

- **Jedynka trygonometryczna:**
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
To serce całego rozwiązania - pozwala zamienić sumę kwadratów sinusa i cosinusa jednego kąta na 1.

- **Wzór redukcyjny:**
\[\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha\]
Użyliśmy go, żeby zamienić \(\sin 72°\) na \(\cos 18°\) i sprowadzić wszystko do jednego kąta.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A** \(= 0\) | Uczeń myli z wyrażeniem \(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha\) lub zakłada, że suma kwadratów daje 0 |
| **B** \(= 1\) | Stosuje jedynkę trygonometryczną raz, ale zapomina o współczynniku \(2\) przy pierwszym składniku - liczy \(\sin^2 18° + \cos^2 18° + \sin^2 72°\) jako \(1 + \sin^2 72°\) i zgaduje |
| **D** \(= 4\) | Błędnie stosuje wzór na \(2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\) i "podwaja" każdy składnik osobno, jakby cały wyraz był pomnożony przez 2 |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać wartości \(\sin 18°\) ani \(\cos 18°\) - zadanie rozwiązuje się wyłącznie tożsamościami. Jeśli poczułeś pokusę szukania tych wartości w tablicach, to sygnał, że poszedłeś złą drogą.

> ⚠️ **Uwaga:** Para \(18°\) i \(72°\) to kąty dopełniające do \(90°\) - zawsze warto to zauważyć. Generalnie, gdy widzisz \(\alpha\) i \(90° - \alpha\) w jednym zadaniu, prawie zawsze chodzi o wzór \(\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wspólny błąd - wyciąganie \(2\) przed całe wyrażenie na początku, bez sprawdzenia, czy drugi i trzeci składnik faktycznie mają ten sam współczynnik. Dopiero po podstawieniu \(\sin 72° = \cos 18°\) okazuje się, że \(2\) można wyciągnąć przed całość.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór \(\sin(90° - x) = \cos x\) (karta wzorów)
\(\sin 72° = \sin(90° - 18°) = \cos 18°\), więc \(\sin^2 72° = \cos^2 18°\).
Wyrażenie: \(2\sin^2 18° + \cos^2 18° + \cos^2 18° = 2\sin^2 18° + 2\cos^2 18° = 2(\sin^2 18° + \cos^2 18°) = 2 \cdot 1 = 2\).

### Sposób 2 - Grupowanie
\(2\sin^2 18° + \sin^2 72° + \cos^2 18° = \sin^2 18° + (\sin^2 18° + \cos^2 18°) + \sin^2 72°\)
\(= \sin^2 18° + 1 + \cos^2 18° = 1 + 1 = 2\) (używając \(\sin 72° = \cos 18°\)).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(0\)** - wartość ujemna nie może wyjść (same kwadraty).
- **B. \(1\)** - tylko jedna jedynka trygonometryczna zauważona.
- **D. \(4\)** - zdublowano każdy składnik.

**Trik:** \(\sin(90°-x) = \cos x\) - zawsze szukaj par kątów dopełniających.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/2) — Liczba \(\sin^{3} 20^{\circ} + \cos^{2} 20^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}\) jest równa A. \(\cos 20^\circ\) B. \(\sin 20^\circ\) C. \(\tg 20^\circ\) D. \(\sin 20
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2014-operon-probna-rozszerzona/zad/7) — Dany jest trójkąt o boku długości a = 4 i kącie przyległym do tego boku 45^ . Kąt leżący naprzeciwko boku a ma miarę 30^ . Oblicz długość boku leżącego naprzeci
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-a-2605/zad/18) — A. \( \dfrac{1}{\sqrt{10}} \) B. \( \dfrac{1}{3} \) C. \( \dfrac{3}{\sqrt{10}} \) D. \( \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}} \)
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-ma-p1-1p-1/zad/14) — Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3\cos \alpha - 2\sin \alpha}{\sin \alpha - 5\c

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_