# Matematyka — zadanie 15 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/15 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 15. (0-1) Pole trójkąta ABC o wierzchołkach ( ) 0, 0 A = , ( ) 4, 2 B = , ( ) 2, 6 C = jest równe A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 Rozwiązanie zadania. Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A=(0,0), B=(4,2), C=(2,6) jest równe A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(10\) ## Sposób 1 - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych Znamy wierzchołki trójkąta: \(A = (0, 0)\), \(B = (4, 2)\), \(C = (2, 6)\). Korzystamy bezpośrednio z wzoru na pole trójkąta ze współrzędnych: \[P = \frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\] Podstawiamy: - \(x_A = 0,\ y_A = 0\) - \(x_B = 4,\ y_B = 2\) - \(x_C = 2,\ y_C = 6\) \[P = \frac{1}{2}|(4 - 0)(6 - 0) - (2 - 0)(2 - 0)|\] \[P = \frac{1}{2}|4 \cdot 6 - 2 \cdot 2|\] \[P = \frac{1}{2}|24 - 4|\] \[P = \frac{1}{2} \cdot 20 = \mathbf{10}\] ## Sposób 2 - metoda prostokąta okalającego Rysujemy prostokąt okalający trójkąt. Wierzchołki trójkąta mają: - \(x \in [0, 4]\), więc szerokość prostokąta: \(4\) - \(y \in [0, 6]\), więc wysokość prostokąta: \(6\) Pole prostokąta: \[P_{\text{prost}} = 4 \cdot 6 = 24\] Odejmujemy trzy trójkąty prostokątne "narożne", które wycinamy z prostokąta, żeby uzyskać nasz trójkąt: **Trójkąt \(AOB\)** (wierzchołki \((0,0)\), \((4,0)\), \((4,2)\)): \[P_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\] **Trójkąt \(BOC''\)** (wierzchołki \((4,2)\), \((4,6)\), \((2,6)\)): \[P_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\] **Trójkąt \(AOC'\)** (wierzchołki \((0,0)\), \((0,6)\), \((2,6)\)): \[P_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6\] Pole trójkąta \(ABC\): \[P = P_{\text{prost}} - P_1 - P_2 - P_3 = 24 - 4 - 4 - 6 = \mathbf{10}\] Wynik zgadza się z Podejściem 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych: \[P = \frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\] Użyliśmy go wprost w Sposobie 1 - wystarczy podstawić współrzędne wierzchołków. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A - \(5\) | Zapomniano pomnożyć przez \(\frac{1}{2}\) po wzorze: \(|24 - 4| = 20\), potem \(\frac{20}{4} = 5\) - błędny mianownik | | C - \(15\) | Błąd w metodzie prostokąta: odjęto tylko dwa trójkąty narożne zamiast trzech, lub źle obliczono jeden z nich | | D - \(20\) | Zapomniano o \(\frac{1}{2}\) w całości: \(|24 - 4| = 20\) bez dzielenia przez 2 | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie \(\frac{1}{2}\) we wzorze - liczysz wyrażenie \(|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\) i to już gotowy wynik, a tymczasem trzeba go jeszcze podzielić przez 2! > ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna jest konieczna - kolejność wierzchołków (zgodnie lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) może dać wynik ujemny bez modułu. Bierzemy \(|\cdot|\), żeby pole zawsze wyszło dodatnie. > ⚠️ **Uwaga:** W metodzie prostokąta okalającego łatwo przeoczyć jeden z trójkątów narożnych. Sprawdź, ile narożników prostokąta nie należy do trójkąta - każdy taki narożnik daje osobny trójkąt do odjęcia. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta w układzie (karta wzorów) \[P = \tfrac{1}{2}\bigl|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)\bigr|.\] \[P = \tfrac{1}{2}|(4-0)(6-0) - (2-0)(2-0)| = \tfrac{1}{2}|24 - 4| = \tfrac{1}{2}\cdot 20 = 10.\] ### Sposób 2 - Iloczyn wektorowy \(\vec{AB} = [4,2]\), \(\vec{AC} = [2,6]\). Pole \(= \tfrac{1}{2}|4\cdot 6 - 2\cdot 2| = \tfrac{1}{2}\cdot 20 = 10\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(5\)** - zapomniano czynnika \(\tfrac{1}{2}\)? Raczej połowa z połowy. - **C. \(15\)** - błędne obliczenia. - **D. \(20\)** - zapomniano \(\tfrac{1}{2}\) w wzorze (to dwukrotność pola, równoległobok). **Trik:** zawsze pamiętaj o \(\tfrac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta przez współrzędne. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/15) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F15) ## Podobne zadania - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta. ( ) 1, 1 A = ( ) 6,1 B = ( ) - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W układzie współrzędnych są dane punkty ( ) 43, 12 A = - , ( ) 50,19 B = . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi p _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_