# Matematyka — zadanie 17 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/17 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej ## Treść Zadanie 17. (0-1) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach , ( ) 11,12 B = . Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz . Wówczas A. ( ) 8, 6 S = B. ( ) 9, 8 S = C. ( ) 10,10 S = D. ( ) 13,16 S = AB SC 34° 70 AOB = °  25 OAC = °  ( ) 7,4 A = 3 AS BS = ⋅ S D C O A B MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Rozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12). Punkt S leży wewnątrz odcinka AB oraz |AS|=3⋅|BS|. Wówczas A. S=(8,6) B. S=(9,8) C. S=(10,10) D. S=(13,16). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(S = (10, 10)\) ## Sposób 1 - Podział odcinka w danym stosunku (wzór na punkt podziału) Warunek \(|AS| = 3 \cdot |BS|\) oznacza, że **S dzieli odcinek AB w stosunku \(3:1\) licząc od A do B**. Innymi słowy: \(|AS| : |SB| = 3 : 1\). Wzór na punkt dzielący odcinek \(AB\) w stosunku \(m:n\) od punktu \(A\): \[S = \left(\frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m+n},\ \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m+n}\right)\] Tutaj \(m = 3\), \(n = 1\), \(A = (7, 4)\), \(B = (11, 12)\): \[x_S = \frac{3 \cdot 11 + 1 \cdot 7}{3+1} = \frac{33 + 7}{4} = \frac{40}{4} = 10\] \[y_S = \frac{3 \cdot 12 + 1 \cdot 4}{3+1} = \frac{36 + 4}{4} = \frac{40}{4} = 10\] **Zatem \(S = (10, 10)\).** ## Sposób 2 - Parametrycznie (równanie odcinka) Każdy punkt na odcinku \(AB\) można zapisać jako: \[S = A + t \cdot \overrightarrow{AB}, \quad t \in [0, 1]\] Wektor: \(\overrightarrow{AB} = [11-7,\ 12-4] = [4, 8]\) Więc: \(S = (7 + 4t,\ 4 + 8t)\) **Wyznaczamy \(t\) z warunku \(|AS| = 3|BS|\):** - \(|AS| = t \cdot |\overrightarrow{AB}|\) (bo \(S = A + t\cdot\overrightarrow{AB}\)) - \(|BS| = (1-t) \cdot |\overrightarrow{AB}|\) Warunek: \[t \cdot |\overrightarrow{AB}| = 3 \cdot (1-t) \cdot |\overrightarrow{AB}|\] \[t = 3(1-t)\] \[t = 3 - 3t\] \[4t = 3 \implies t = \frac{3}{4}\] Podstawiamy: \[x_S = 7 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 7 + 3 = 10\] \[y_S = 4 + 8 \cdot \frac{3}{4} = 4 + 6 = 10\] **\(S = (10, 10)\) ✓** **Weryfikacja długości:** \[|AS| = \sqrt{(10-7)^2 + (10-4)^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] \[|BS| = \sqrt{(11-10)^2 + (12-10)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\] \[|AS| = 3\sqrt{5} = 3 \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot |BS| \checkmark\] ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Środek odcinka (szczególny przypadek podziału \(1:1\)): \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] Użyliśmy tych wzorów przy weryfikacji w Sposobie 2. Ogólny wzór na punkt podziału w stosunku \(m:n\) to uogólnienie wzoru na środek - warto go zapamiętać, bo na karcie pojawia się właśnie jako środek odcinka (przypadek \(m=n=1\)). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Punkt | Błąd | | A | \((8, 6)\) | **Odwrócony warunek**: to punkt, dla którego \(\|BS\| = 3\|\|AS\|\|\) (S jest bliżej A niż B), czyli \(t = \frac{1}{4}\) zamiast \(t = \frac{3}{4}\) | | B | \((9, 8)\) | **Połowa odcinka**: to środek odcinka AB (\(t = \frac{1}{2}\)), czyli \(\|AS\| = \|BS\|\) - pomylono "trzy razy dłuższy" z "w połowie" | | D | \((13, 16)\) | **Poza odcinkiem**: ten punkt leży na prostej AB, ale **za punktem B** (\(t > 1\)), więc S nie leży wewnątrz odcinka | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(|AS| = 3|BS|\) oznacza, że S jest **bliżej B niż A** - S leży w \(\frac{3}{4}\) drogi od A do B. Łatwo odwrócić: odpowiedź A to wynik zakładający \(|BS| = 3|AS|\) (S bliżej A). > ⚠️ **Uwaga:** Wzór na punkt podziału \(\frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m+n}\) - wagi są "skrzyżowane": współrzędna \(x_B\) jest pomnożona przez \(m\) (część bliższą B), co zaskakuje intuicję. Jeśli nie jesteś pewny - zawsze sprawdź parametrycznie (Sposób 2), to prostsze i mniej podatne na błąd. > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D leży na prostej AB, ale poza odcinkiem - na maturze zawsze sprawdź, czy \(t \in [0, 1]\) (punkt musi być wewnątrz odcinka, jak mówi treść zadania). **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Podział odcinka w stosunku \(3:1\) (karta wzorów) \(|AS| = 3|BS|\) oznacza, że \(S\) dzieli \(AB\) w stosunku \(AS:SB = 3:1\). Wzór: \[S = \left(\tfrac{1\cdot x_A + 3\cdot x_B}{4}, \tfrac{1\cdot y_A + 3\cdot y_B}{4}\right) = \left(\tfrac{7 + 33}{4}, \tfrac{4 + 36}{4}\right) = (10, 10).\] ### Sposób 2 - Wektor \(\vec{AB} = [4, 8]\). \(S = A + \tfrac{3}{4}\vec{AB} = (7 + 3, 4 + 6) = (10, 10)\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \((8,6)\)** - to \(A + \tfrac{1}{4}\vec{AB}\), czyli punkt w stosunku \(1:3\) (odwrotnie). - **B. \((9,8)\)** - środek odcinka (\(\tfrac{1}{2}\vec{AB}\)). - **D. \((13,16)\)** - punkt poza odcinkiem. **Trik:** \(|AS|=3|BS|\) znaczy \(S\) jest bliżej \(B\) - idzie \(\tfrac{3}{4}\) drogi od \(A\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/17) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F17) ## Podobne zadania - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta. ( ) 1, 1 A = ( ) 6,1 B = ( ) - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W układzie współrzędnych są dane punkty ( ) 43, 12 A = - , ( ) 50,19 B = . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi p _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_