# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 18. (0-1)
Suma odległości punktu
od prostych o równaniach
i
jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie zadania. Suma odległości punktu A=(-4,2) od prostych o równaniach x=4 i y=-4 jest równa A. 14 B. 12 C. 10 D. 8

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(14\)

## Sposób 1 - Odległość punktu od prostej pionowej i poziomej

Prostymi w tym zadaniu są:
- \(x = 4\) - prosta **pionowa**
- \(y = -4\) - prosta **pozioma**

Odległość punktu od prostej pionowej \(x = k\) to po prostu **różnica współrzędnych \(x\)** (wartość bezwzględna):
\[d_1 = |x_A - k| = |-4 - 4| = |-8| = 8\]

Odległość punktu od prostej poziomej \(y = m\) to **różnica współrzędnych \(y\)**:
\[d_2 = |y_A - m| = |2 - (-4)| = |2 + 4| = |6| = 6\]

**Suma odległości:**
\[d_1 + d_2 = 8 + 6 = \mathbf{14}\]

## Sposób 2 - Wzór ogólny na odległość punktu od prostej

Wzór ogólny na odległość punktu \(P(x_0, y_0)\) od prostej \(Ax + By + C = 0\):
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

**Prosta \(x = 4\)**, czyli \(x - 4 = 0\), to \(A = 1, B = 0, C = -4\):
\[d_1 = \frac{|1 \cdot (-4) + 0 \cdot 2 + (-4)|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-4 - 4|}{1} = \frac{8}{1} = 8\]

**Prosta \(y = -4\)**, czyli \(y + 4 = 0\), to \(A = 0, B = 1, C = 4\):
\[d_2 = \frac{|0 \cdot (-4) + 1 \cdot 2 + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|0 + 2 + 4|}{1} = \frac{6}{1} = 6\]

**Suma:**
\[d_1 + d_2 = 8 + 6 = \mathbf{14}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **A**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do wyznaczenia odległości punktu \(A = (-4, 2)\) od każdej z prostych.

W Sposobie 1 korzystamy z prostej obserwacji geometrycznej (odległość od prostej pionowej/poziomej = różnica odpowiedniej współrzędnej), co jest szczególnym przypadkiem tego wzoru - bez potrzeby pamiętania go na pamięć.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B: \(12\) | Policzono \(|{-4} - 4| + |2 - 4| = 8 + 2 = 10\) lub inne mieszanie współrzędnych. Albo \(6 + 6 = 12\) - wzięto odległość \(|2 - (-4)| = 6\) dwa razy, zapominając o przeliczeniu \(d_1\). |
| C: \(10\) | Wzięto \(|{-4} + 4| + |2 + 4| = 0 + 6 = 6\) lub np. \(4 + 6 = 10\) - pomylono \(|{-4} - 4|\) z \(|{-4}| = 4\), licząc odległość od \(x = 0\) zamiast od \(x = 4\). |
| D: \(8\) | Policzono tylko jedną z odległości (\(d_1 = 8\)) i zapomniano dodać drugą. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od prostej \(x = 4\) to **nie** \(|{-4}|\) (odległość od osi \(OY\)), lecz \(|{-4} - 4| = 8\). Nie mylić prostej \(x = 4\) z osią \(OY\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy odległości od \(y = -4\) pamiętaj o znaku: \(|2 - (-4)| = |2 + 4| = 6\), nie \(|2 - 4| = 2\). Minus przed czwórką łatwo zgubić.

> ⚠️ **Uwaga:** Odległość to zawsze liczba nieujemna - jeśli wychodzi ujemna, brakuje wartości bezwzględnej.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Odległość od prostych pionowych/poziomych (karta wzorów)
Odległość od \(x = 4\): \(|x_A - 4| = |-4 - 4| = 8\).
Odległość od \(y = -4\): \(|y_A - (-4)| = |2 + 4| = 6\).
Suma: \(8 + 6 = 14\).

### Sposób 2 - Geometrycznie
Punkt \(A=(-4,2)\) leży po lewej od \(x=4\) (poziomo \(8\) jednostek) i powyżej \(y=-4\) (pionowo \(6\) jednostek). Suma \(= 14\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(12\)** - ktoś pomylił odległości (\(4+8=12\) lub \(6+6\)).
- **C. \(10\)** - błąd rachunkowy.
- **D. \(8\)** - tylko jedna z odległości, zapomniano drugiej.

**Trik:** odległość od prostej pionowej \(x=a\) to \(|x_0 - a|\), od poziomej \(y=b\) to \(|y_0 - b|\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_