# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej
tego sześcianu jest równe
A. 48 cm2
B. 64 cm2
C. 384 cm2
D. 512 cm2
Rozwiązanie zadania. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 48 cm² B. 64 cm² C. 384 cm² D. 512 cm².

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(384 \text{ cm}^2\)

## Sposób 1 - ze wzoru na krawędzie sześcianu

Sześcian ma **12 krawędzi** (każda tej samej długości \(a\)).

**Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi.**

Suma długości wszystkich krawędzi wynosi \(96\) cm:
\[12a = 96\]
\[a = 8 \text{ cm}\]

**Krok 2: Obliczamy pole powierzchni całkowitej.**

Sześcian ma **6 ścian**, każda jest kwadratem o boku \(a\):
\[P_c = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 8^2 = 6 \cdot 64 = \mathbf{384 \text{ cm}^2}\]

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy \(a = 8\) cm daje sensowny wynik.

Sześcian o boku \(8\) cm:
\[12 \cdot 8 = 96 \text{ cm} \checkmark\]

Pole powierzchni całkowitej:
\[P_c = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 64 = 384 \text{ cm}^2 \checkmark\]

Wynik zgadza się z odpowiedzią C.

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupów:

Dla sześcianu (prostopadłościan o \(a = b = c\)):
\[P_c = 6a^2\]

Wzór ten wynika bezpośrednio z ogólnego wzoru na prostopadłościan:
\[P_c = 2(ab + bc + ca)\]
po podstawieniu \(a = b = c\):
\[P_c = 2(a^2 + a^2 + a^2) = 6a^2\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (\(48\) cm²) | Policzono \(12a = 96\), więc \(a = 8\), ale potem wzięto samo \(6a = 48\) - zapomniano podnieść \(a\) do kwadratu |
| B (\(64\) cm²) | Policzono samo \(a^2 = 64\) - wzięto pole jednej ściany, zamiast wszystkich 6 |
| D (\(512\) cm²) | Policzono **objętość** sześcianu: \(V = a^3 = 8^3 = 512\) cm³ - pomylono pole powierzchni z objętością |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 8 (wierzchołków jest 8, krawędzi 12). Pomylenie tej liczby to klasyczny błąd - łatwo to zapamiętać: każda z 6 ścian ma 4 krawędzie, ale każda krawędź należy do 2 ścian, więc \(\frac{6 \cdot 4}{2} = 12\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pola powierzchni \(P_c = 6a^2\) z objętością \(V = a^3\)! Wynik \(512\) to objętość - jednostka to cm³, nie cm².

> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej to suma pól **wszystkich 6 ścian**. Każda ściana to kwadrat o polu \(a^2\), więc całość to \(6a^2\), a nie samo \(a^2\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Sześcian ma \(12\) krawędzi (karta wzorów)
\(12a = 96 \Rightarrow a = 8\) cm. Pole całkowite: \(P = 6a^2 = 6 \cdot 64 = 384\) cm\(^2\).

### Sposób 2 - Proporcja
Krawędź: \(a = 96/12 = 8\). Jedna ściana: \(64\) cm\(^2\). Sześcian ma \(6\) ścian: \(6\cdot 64 = 384\) cm\(^2\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(48\) cm\(^2\)** - to pole jednej ściany gdyby \(a\) inne.
- **B. \(64\) cm\(^2\)** - pole tylko jednej ściany (\(a^2\)).
- **D. \(512\) cm\(^3\)** - objętość (\(a^3\)), nie pole!

**Trik:** sześcian ma \(12\) krawędzi, \(6\) ścian, \(8\) wierzchołków.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_