# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Liczba \(\frac{\log_{3} 27}{\log_{3} \sqrt{27}}\) jest równa

A. \(-\dfrac{1}{2}\)
B. \(2\)
C. \(-2\)
D. \(\dfrac{1}{2}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (liczba \(2\))

## Sposób 1 - Zamiana na potęgi trójki

Kluczowy krok: **wyrażamy 27 i \(\sqrt{27}\) jako potęgi liczby 3**, bo logarytm o podstawie 3 z potęgi 3 to po prostu wykładnik.

**Licznik:**
\[27 = 3^3 \implies \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3\]

**Mianownik:**
\[\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} \implies \log_3 \sqrt{27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\]

**Wynik:**
\[\frac{\log_3 27}{\log_3 \sqrt{27}} = \frac{3}{\dfrac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = \mathbf{2}\]

## Sposób 2 - Własność logarytmu pierwiastka

Zauważamy, że \(\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}\), więc możemy skorzystać ze wzoru \(\log_a x^r = r \cdot \log_a x\):

\[\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \log_3 27\]

Podstawiamy do ułamka:
\[\frac{\log_3 27}{\log_3 \sqrt{27}} = \frac{\log_3 27}{\dfrac{1}{2} \cdot \log_3 27} = \frac{1}{\dfrac{1}{2}} = \mathbf{2}\]

Zwróć uwagę: **\(\log_3 27\) wycina się w całości** - nie musimy nawet liczyć jego wartości! Wynik to \(2\) niezależnie od tego, czym jest \(\log_3 27\) (o ile jest niezerowy).

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**:
\[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\]
Użyliśmy tego wzoru, by "wyciągnąć" wykładnik \(\frac{1}{2}\) z \(\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{\frac{1}{2}}\).

\[a^{\log_a b} = b \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a a^c = c\]
Użyliśmy definicji logarytmu: \(\log_3 3^3 = 3\) oraz \(\log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) | Uczeń "odwraca" ułamek i dodatkowo miesza znaki - np. liczy \(\frac{\log_3\sqrt{27}}{\log_3 27}\) i dokłada minus |
| C \((-2)\) | Poprawnie liczy wartość bezwzględną \(2\), ale wstawia minus bez żadnego uzasadnienia (myląc np. z ujemnym wykładnikiem) |
| D \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\) | Uczeń odwraca ułamek: liczy \(\dfrac{\log_3\sqrt{27}}{\log_3 27} = \dfrac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{1}{2}\) zamiast na odwrót |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **odwrócenie ułamka** - policzenie mianownika przez licznik zamiast licznika przez mianownik. Sprawdzaj zawsze, co jest "na górze", a co "na dole".

> ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt{27} \neq 3\sqrt{3}\) nie jest błędem, ale pamiętaj, że \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3} = 3^{\frac{3}{2}}\) - wszystkie formy są równoważne, najwygodniejsza to \(3^{\frac{3}{2}}\) przy rachunkach logarytmicznych.

> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 pokazuje piękny skrót - kiedy licznik i mianownik różnią się **tylko wykładnikiem** tego samego wyrażenia, ułamek logarytmów redukuje się do stosunku wykładników. To warto zapamiętać jako trick na egzaminie!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Obliczenie logarytmów (karta wzorów)
\(\log_{3} 27 = \log_{3} 3^{3} = 3\).
\(\log_{3} \sqrt{27} = \log_{3} 3^{3/2} = \dfrac{3}{2}\).
Zatem \(\dfrac{3}{3/2} = 3 \cdot \dfrac{2}{3} = 2\).

### Sposób 2 - Własność \(\log a^{k} = k\log a\)
\(\dfrac{\log_{3} 27}{\log_{3} 27^{1/2}} = \dfrac{\log_{3} 27}{\tfrac{1}{2}\log_{3} 27} = 2\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, C** - ujemne znaki biorą się z błędnego zastosowania własności logarytmu pierwiastka.
- **D. \(\tfrac{1}{2}\)** - odwrotność poprawnego wyniku.

**Trik:** \(\log_{a} \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n}\log_{a} x\) - współczynnik \(\tfrac{1}{n}\) wyskakuje przed log.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2020-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-2) Oblicz   3 3 4 3 3 3 log 27 log log 3  Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 43 -82 ∶24 jest równa A. 0 B. 10 C. 56 D. 60
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba (√32 -√2 ) 2 jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34 Liczba (√32 - √2)² jest rów

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_