# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 20. (0-1) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym . Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 44°. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego trójkąta w punkcie D. Kąt ma miarę A. B. C. D. Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę 44°. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka A przecina bok BC tego trójkąta w punkcie D. Kąt ADC ma miarę A. 78° B. 34° C. 68° D. 102° ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D (\(102°\)) ## Sposób 1 - Suma kątów w trójkącie ADC **Wyznaczamy kąty trójkąta ABC.** Trójkąt równoramienny \(ABC\) ma ramiona \(|AC| = |BC|\), a kąt między nimi: \[\angle ACB = 44°\] Kąty przy podstawie \(AB\) są równe (to własność trójkąta równoramiennego): \[\angle CAB = \angle CBA = \frac{180° - 44°}{2} = \frac{136°}{2} = 68°\] **Wyznaczamy kąt, który tworzy dwusieczna z kątem przy \(A\).** Dwusieczna kąta \(A\) dzieli kąt \(\angle CAB = 68°\) na dwie równe części: \[\angle CAD = \frac{68°}{2} = 34°\] **Liczymy \(\angle ADC\) ze wzoru na sumę kątów w trójkącie \(ADC\).** Trójkąt \(ADC\) ma kąty: - \(\angle CAD = 34°\) - \(\angle ACD = 44°\) (to ten sam kąt co \(\angle ACB\), bo \(D\) leży na boku \(BC\)) - \(\angle ADC = ?\) \[\angle ADC = 180° - \angle CAD - \angle ACD = 180° - 34° - 44° = \boxed{102°}\] ## Sposób 2 - Przez trójkąt ABD (kąt zewnętrzny) Rozpatrzmy trójkąt \(ABD\): - \(\angle DAB = 34°\) (druga połowa kąta przy \(A\), bo \(AD\) to dwusieczna) - \(\angle ABD = 68°\) (kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego) Suma kątów w trójkącie \(ABD\): \[\angle ADB = 180° - 34° - 68° = 78°\] Kąty \(\angle ADB\) i \(\angle ADC\) są **kątami suplementarnymi** (razem tworzą kąt półpełny, bo \(D\) leży na odcinku \(BC\)): \[\angle ADC = 180° - \angle ADB = 180° - 78° = \boxed{102°}\] Wynik zgodny - **odpowiedź D jest poprawna.** ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\): \[\alpha + \beta + \gamma = 180°\] Użyliśmy tego w obydwu sposobach - raz dla trójkąta \(ADC\), raz dla \(ABD\). Poza tym zadanie opiera się na **własności trójkąta równoramiennego** (kąty przy podstawie są równe) i **definicji dwusiecznej** - nie ma oddzielnego wzoru na te własności w karcie, ale są to definicje, które maturzysta musi znać. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | **A** (\(78°\)) | To jest kąt \(\angle ADB\) - po drugiej stronie punktu \(D\). Uczeń policzył kąt w trójkącie \(ABD\), ale zapomniał odjąć od \(180°\). | | **B** (\(34°\)) | To jest \(\angle CAD\) - połowa kąta przy wierzchołku \(A\). Uczeń podał kąt dwusiecznej zamiast szukanego \(\angle ADC\). | | **C** (\(68°\)) | To jest kąt przy podstawie trójkąta (\(\angle CAB = \angle CBA\)). Uczeń mylnie utożsamił szukany kąt z kątem podstawy. | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na to, KTÓRY kąt przy \(D\) jest szukany. \(\angle ADB\) i \(\angle ADC\) są suplementarne - odpowiedź A (\(78°\)) i D (\(102°\)) różnią się właśnie o ten błąd. > ⚠️ **Uwaga:** "Kąt między ramionami" to kąt przy wierzchołku \(C\), czyli \(44°\) - NIE kąty przy podstawie. Nie myl: kąty przy podstawie mają miarę \(68°\), a nie \(44°\). > ⚠️ **Uwaga:** Dwusieczna z \(A\) dzieli kąt \(68°\) na \(34°\) - pilnuj, że do trójkąta \(ADC\) wchodzi właśnie \(34°\), a nie cały kąt \(68°\). **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Suma kątów w trójkącie (karta wzorów) W trójkącie równoramiennym z \(\angle ACB = 44°\): kąty przy podstawie \(\angle BAC = \angle ABC = \tfrac{180°-44°}{2} = 68°\). Dwusieczna dzieli \(\angle BAC\) na pół: \(\angle CAD = \tfrac{68°}{2} = 34°\). W trójkącie \(ACD\): \(\angle ADC = 180° - \angle ACD - \angle CAD = 180° - 44° - 34° = 102°\). ### Sposób 2 - Kąt zewnętrzny \(\angle ADC\) = kąt zewnętrzny trójkąta \(ABD\) przy wierzchołku \(D\) = suma kątów wewnętrznych przy \(A\) i \(B\): \(\angle DAB + \angle ABD = 34° + 68° = 102°\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(78°\)** - \(34°+44°\) (pomyłka w kącie wierzchołkowym). - **B. \(34°\)** - to miara \(\angle CAD\), nie \(\angle ADC\). - **C. \(68°\)** - kąt przy podstawie, nie dwusieczna. **Trik:** kąt zewnętrzny = suma dwóch kątów wewnętrznych nieprzylegających. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_