# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Zadanie 21. (0-1)
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest
A. 60
B. 45
C. 30
D. 15

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest **15**.

## Sposób 1 - Wylistowanie i zliczenie

Liczby dwucyfrowe to liczby od \(10\) do \(99\).

Szukamy liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\), czyli takich, które są jednocześnie podzielne przez \(2\) i przez \(3\).

**Najmniejsza dwucyfrowa wielokrotność 6:**
\[6 \cdot 2 = 12\]
(bo \(6 \cdot 1 = 6\) - jednocyfrowa, odpada)

**Największa dwucyfrowa wielokrotność 6:**
\[6 \cdot 16 = 96\]
(bo \(6 \cdot 17 = 102\) - trzycyfrowa, odpada)

Wielokrotności to: \(6 \cdot 2,\ 6 \cdot 3,\ \ldots,\ 6 \cdot 16\).

**Ile ich jest?**
\[16 - 2 + 1 = \mathbf{15}\]

## Sposób 2 - Wzór na liczbę wielokrotności w przedziale

Liczba wielokrotności \(k\) w przedziale \(\langle a, b \rangle\) to:
\[\left\lfloor \frac{b}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a-1}{k} \right\rfloor\]

Dla \(k = 6\), \(a = 10\), \(b = 99\):
\[\left\lfloor \frac{99}{6} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{9}{6} \right\rfloor = 16 - 1 = \mathbf{15}\]

**Weryfikacja listą:**
\[12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\]
Liczymy: \(15\) liczb. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja podzielności i proste zliczanie wielokrotności w przedziale.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A. \(60\) | Pomylenie pytania - 60 to **sama liczba podzielna przez 6**, a nie ich **ilość** |
| B. \(45\) | Policzono wielokrotności \(2\) w przedziale dwucyfrowym (od \(10\) do \(98\)), zapominając o podzielności przez \(3\) |
| C. \(30\) | Policzono wielokrotności \(3\) w przedziale dwucyfrowym (od \(12\) do \(99\)), zapominając o podzielności przez \(2\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij, że **liczby dwucyfrowe zaczynają się od 10**, nie od 1. Najczęstszy błąd to liczenie od \(6\) (pierwsza wielokrotność) - wtedy dostaje się \(16\) zamiast \(15\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu "od \(a\) do \(b\)" włącznie używaj wzoru \(b - a + 1\), nie \(b - a\). Tu: od \(6 \cdot 2\) do \(6 \cdot 16\) to \(16 - 2 + 1 = 15\), a nie \(14\).

> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez \(6\) = podzielność przez \(2\) **i** przez \(3\) jednocześnie - to nie to samo co podzielność przez \(2\) lub przez \(3\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny (karta wzorów)
Liczby dwucyfrowe: od \(10\) do \(99\). Podzielne przez \(6\): \(12, 18, 24, \ldots, 96\). Ciąg arytmetyczny z \(a_1=12\), \(r=6\), \(a_n = 96\).
\(a_n = a_1 + (n-1)r \Rightarrow 96 = 12 + (n-1)\cdot 6 \Rightarrow n-1 = 14 \Rightarrow n = 15\).

### Sposób 2 - Dzielenie
Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\): od \(12 = 6\cdot 2\) do \(96 = 6\cdot 16\). Mnożników \(k\) od \(2\) do \(16\), czyli \(16-2+1 = 15\) liczb.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(60\)** - liczba dwucyfrowych podzielnych przez jakąś niższą liczbę.
- **B. \(45\)** - liczba podzielnych przez \(2\), nie \(6\).
- **C. \(30\)** - liczba podzielnych przez \(3\).

**Trik:** liczba wyrazów ciągu arytmetycznego = \(\tfrac{a_n-a_1}{r} + 1\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2020-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? 
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-2) Oblicz   3 3 4 3 3 3 log 27 log log 3  Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 43 -82 ∶24 jest równa A. 0 B. 10 C. 56 D. 60
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba (√32 -√2 ) 2 jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34 Liczba (√32 - √2)² jest rów

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_