# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 22. (0-1) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe A. 20 B. 10 C. 16 D. 12 ( ) 4, 2 A = - 4 x = 4 y = - 14 12 10 8 AC BC ADC 78° 34° 68° 102° A B C D S 4 3 MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Rozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek). Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe A. 20 B. 10 C. 16 D. 12 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B (pole = \(10\)) ## Sposób 1 - Wysokość trójkąta z odległości punktu od prostej **Wprowadzamy układ współrzędnych.** Ponieważ \(DS \perp\) podstawa, ustawiamy: - \(D = (0, 0, 0)\) - \(C = (4, 0, 0)\) - \(B = (4, 4, 0)\) - \(A = (0, 4, 0)\) - \(S = (0, 0, 3)\) (bo \(DS\) ma długość 3 i jest prostopadła do podstawy) **Ściana \(BCS\) to trójkąt** z wierzchołkami \(B(4,4,0)\), \(C(4,0,0)\) Poczekaj - sprawdźmy kolejność. \(ABCD\) to kwadrat, więc: - \(BC\) to bok kwadratu, \(|BC| = 4\) ✓ **Podstawa trójkąta:** odcinek \(BC\), długości \(4\). **Wysokość:** odległość punktu \(S(0,0,3)\) od prostej \(BC\). Prosta \(BC\) biegnie wzdłuż osi \(x\) na poziomie \(y=4, z=0\). Kierunek: \(\vec{u} = (-1, 0, 0)\). Wektor \(\overrightarrow{BS} = S - B = (-4, -4, 3)\). Składowa \(\overrightarrow{BS}\) **prostopadła** do \(\vec{u}\): \[\overrightarrow{BS} - (\overrightarrow{BS} \cdot \vec{u})\vec{u} = (-4,-4,3) - (4)(-1,0,0) = (0,-4,3)\] Długość tej składowej (= wysokość \(h\)): \[h = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] **Pole ściany \(BCS\):** \[P = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = \boxed{10}\] ## Sposób 2 - Iloczyn wektorowy Z tych samych współrzędnych: \[\overrightarrow{BC} = C - B = (-4, 0, 0), \quad \overrightarrow{BS} = S - B = (-4, -4, 3)\] Iloczyn wektorowy: \[\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 0 & 0 \\ -4 & -4 & 3 \end{vmatrix}\] \[= \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot (-4)) - \vec{j}((-4) \cdot 3 - 0 \cdot (-4)) + \vec{k}((-4)(-4) - 0 \cdot (-4))\] \[= \vec{i}(0) - \vec{j}(-12) + \vec{k}(16) = (0,\ 12,\ 16)\] Długość: \[|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS}| = \sqrt{0 + 144 + 256} = \sqrt{400} = 20\] Pole: \[P = \frac{1}{2} \cdot 20 = \boxed{10}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności graniastosłupów i ostrosłupów. Bezpośredniego wzoru na pole ściany tu nie ma, ale korzystamy z geometrii trójwymiarowej i: **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] gdzie \(a\) to podstawa, \(h\) to wysokość (użyte w Sposobie 1). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A (\(20\)) | Policzono \(\|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BS}\| = 20\), ale zapomniano podzielić przez \(2\) - to pole równoległoboku, nie trójkąta | | C (\(16\)) | Wzięto \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2\) - mylnie użyto samej odległości \(SD\) lub krawędzi zamiast wysokości trójkąta | | D (\(12\)) | Wzięto \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\) - błędna wysokość \(6 = 3 + 4 - 1\) z pomylenia boków, albo obliczono \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(DS\) jest krawędzią boczną prostopadłą do podstawy, co oznacza, że **\(S\) leży dokładnie nad \(D\)**. Ściana \(BCS\) NIE jest prostokątem ani trójkątem prostokątnym przy \(B\) - warto to sprawdzić przed szybkim liczeniem. > ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta \(BCS\) (odcinek z \(S\) prostopadły do \(BC\)) to NIE jest długość \(SD = 3\) ani \(|BS|\). Trzeba wyznaczyć odległość punktu \(S\) od prostej \(BC\) w przestrzeni - wychodzi \(5\), bo składa się z \(4\) i \(3\) jak trójka pitagorejska \(3\text{-}4\text{-}5\). > ⚠️ **Uwaga:** Trójka pitagorejska \(3, 4, 5\) - tu \(S\) jest oddalony od \(B\) o \(\sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 3^2}\), ale wysokość (prostopadła do \(BC\)) korzysta z odległości \(S\) od osi \(BC\), co daje \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\). Sprytnie! **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (karta wzorów) \(DS \perp\) podstawa, więc \(\triangle DCS\) jest prostokątny w \(D\): \(|CS|^2 = |DC|^2 + |DS|^2 = 16 + 9 = 25\), czyli \(|CS| = 5\). Ponieważ \(BC \perp DC\) (bok kwadratu) oraz \(BC \perp DS\) (\(DS\) prostopadła do podstawy), to \(BC \perp\) płaszczyzna \(DCS\), więc \(BC \perp CS\). Trójkąt \(BCS\) jest prostokątny w \(C\). Pole: \(P_{BCS} = \tfrac{1}{2}|BC|\cdot|CS| = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5 = 10\). ### Sposób 2 - Trzy wymiary \(B=(4,0,0)\), \(C=(4,4,0)\), \(S=(0,4,3)\) (gdy \(D=(0,4,0)\), \(A=(0,0,0)\)). Wektor \(\vec{CB} = (0,-4,0)\), \(\vec{CS}=(-4,0,3)\), \(|\vec{CS}|=5\), wektory prostopadłe. Pole \(= \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5 = 10\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(20\)** - pomnożenie pełne bez \(\tfrac{1}{2}\). - **C. \(16\)** - użyto \(|BC| \cdot 4\) (błędny bok). - **D. \(12\)** - użyto \(|CS|=3\), błąd Pitagorasa. **Trik:** krawędź prostopadła do podstawy daje trójkąty prostokątne w wierzchołkach podstawy. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Dany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy w - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). Ob - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). O _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_