# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 23. (0-1)
Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się
w punkcie P (zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy
A.
2
2
B.
1
2
C. 1
D.
2
Rozwiązanie zadania. Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek PH tworzy z płaszczyzną ABCD, jest równy A. √2/2 B. 1/2 C. 1 D. √2

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(\sqrt{2}\)

## Sposób 1 - Współrzędne kartezjańskie

Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość \(a\). Wprowadźmy układ współrzędnych:

\[
A = (0, 0, 0),\quad B = (a, 0, 0),\quad C = (a, a, 0),\quad D = (0, a, 0)
\]
\[
E = (0, 0, a),\quad F = (a, 0, a),\quad G = (a, a, a),\quad H = (0, a, a)
\]

**Punkt P** to środek ściany \(ABCD\), czyli punkt przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\):
\[
P = \left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2},\ 0\right)
\]

**Rzut prostokątny H na płaszczyznę ABCD** to \(H' = (0, a, 0) = D\) (bo H leży dokładnie nad D).

Kąt \(\varphi\), jaki \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest kątem między odcinkiem \(PH\) a jego rzutem \(PH'\) na tę płaszczyznę. Mamy zatem:

\[
\operatorname{tg}\varphi = \frac{HH'}{PH'} = \frac{\text{wysokość}}{\text{odległość pozioma}}
\]

**Wysokość** (składowa pionowa): \(HH' = a\)

**Odległość pozioma** \(|PD|\):
\[
|PD| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

**Tangens kąta:**
\[
\operatorname{tg}\varphi = \frac{a}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \cdot 2}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \boxed{\sqrt{2}}
\]

## Sposób 2 - Geometryczny (bez współrzędnych)

Przyjmijmy krawędź sześcianu \(a = 1\).

Punkt \(P\) leży w środku kwadratu \(ABCD\). **Rzutem H na płaszczyznę ABCD jest wierzchołek D** (bo \(H\) jest tuż nad \(D\)).

Szukamy kąta \(\varphi = \angle HPD'\), gdzie \(D' = D\).

- Odcinek \(HD'\): pionowy, długość \(= 1\) (krawędź sześcianu)
- Odcinek \(PD\): połowa przekątnej kwadratu o boku 1

Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{2}\), więc:
\[
|PD| = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Stąd:
\[
\operatorname{tg}\varphi = \frac{|HD|}{|PD|} = \frac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
\]

**Wynik zgodny: \(\operatorname{tg}\varphi = \sqrt{2}\).**

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:
\[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
Użyliśmy do obliczenia \(|PD|\) - odległości poziomej.

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:
\[\operatorname{tg}\varphi = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}}\]
Tutaj: przyprostokątna pionowa \(= a\), pozioma \(= \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błędne rozumowanie |
| A: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | Wzięcie jako odległości poziomej **całej przekątnej** \(|AC| = a\sqrt{2}\) zamiast połowy, czyli \(|PD| = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Daje \(\operatorname{tg} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). |
| B: \(\frac{1}{2}\) | Pomylenie odległości poziomej z **połową krawędzi** \(\frac{a}{2}\) i błędne obliczenie \(\operatorname{tg} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}\). |
| C: \(1\) | Założenie, że kąt wynosi \(45°\) bo sześcian jest „symetryczny" - bez sprawdzenia rzeczywistej odległości poziomej \(|PD|\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Rzutem H na płaszczyznę \(ABCD\) jest **wierzchołek D**, a nie środek P ani środek boku. Nie myl rzutu punktu z rzutem odcinka!

> ⚠️ **Uwaga:** Odległość pozioma to \(|PD| = \frac{\text{przekątna ściany}}{2}\), a nie pół krawędzi. Przy boku \(a=1\): przekątna \(= \sqrt{2}\), więc \(|PD| = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt z płaszczyzną to kąt między odcinkiem a jego **rzutem na tę płaszczyznę** (nie dopełnienie tego kąta, nie kąt z prostopadłą do płaszczyzny).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Rzut prostopadły (karta wzorów)
Niech \(a\) to krawędź sześcianu. Rzut punktu \(H\) na płaszczyznę \(ABCD\) to punkt \(D\). Kąt między \(PH\) a płaszczyzną \(ABCD\) = kąt \(\angle HPD\).
W trójkącie prostokątnym \(HPD\): \(|HD| = a\) (krawędź pionowa), \(|PD| = \tfrac{1}{2}|BD| = \tfrac{a\sqrt{2}}{2}\) (połowa przekątnej kwadratu).
\[\tan \angle HPD = \dfrac{|HD|}{|PD|} = \dfrac{a}{\tfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.\]

### Sposób 2 - Z konkretnego boku
\(a=2\): \(|HD|=2\), \(|PD|=\sqrt{2}\). \(\tan = \tfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)** - odwrotność (\(\cot\) zamiast \(\tan\)).
- **B. \(\tfrac{1}{2}\)** - błędne \(|PD|\).
- **C. \(1\)** - tangens \(45°\), gdy \(|HD|=|PD|\), ale tak nie jest.

**Trik:** \(\tan = \dfrac{\text{naprzeciw}}{\text{przyległa}}\) - pionowa krawędź przez połowę przekątnej.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 29.1](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29.1) — Zadanie 29.1. (0-1) Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. Objętość tego ostrosłupa jest równa
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (1 pkt) Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy A. 5 2 B. 2 5 5 C. 1 2 D. 1
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Tangens kąta, jaki odcinek P
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Cztery jednakowe drewniane elementy, każdy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 2 cm × 2 cm × 9 cm, przyklejono do metalowej płytki w spo

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_