# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 25. (0-1)
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {
}
20, 21, 22,
, 39, 40

losujemy jedną liczbę.
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe
A.
1
4
B.
2
7
C.
6
19
D.
3
10
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
12
36
2
π
108
2
π
54π
108π
A
B
C
D
E
F
G
H
P

MMA_1P

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {20,21,22, ,39,40} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe A. 1/4 B. 2/7 C. 6/19 D. 3/10

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(\dfrac{2}{7}\)

## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie

**Krok 1: Policz wszystkie elementy zbioru.**

Zbiór to \(\{20, 21, 22, \ldots, 39, 40\}\). Liczba elementów:
\[n = 40 - 20 + 1 = 21\]

> ⚠️ Uwaga na "+1" - to typowe miejsce błędu! Odejmujemy krańce, ale liczymy je oboje.

**Krok 2: Znajdź liczby podzielne przez 4 w tym zbiorze.**

Szukamy wielokrotności 4 z przedziału \(\langle 20, 40 \rangle\):
\[20, \; 24, \; 28, \; 32, \; 36, \; 40\]

To 6 liczb. Sprawdzamy: \(20 = 4 \cdot 5\), \(24 = 4 \cdot 6\), , \(40 = 4 \cdot 10\) - tak, wszystkie w zbiorze.

**Krok 3: Oblicz prawdopodobieństwo.**

\[P = \frac{\text{liczba sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}\]

## Sposób 2 - Wzór na liczbę wielokrotności

Liczba wielokrotności liczby \(d\) w przedziale \(\langle a, b \rangle\) (liczby naturalne):
\[\left\lfloor \frac{b}{d} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a-1}{d} \right\rfloor\]

Dla \(d = 4\), \(a = 20\), \(b = 40\):
\[\left\lfloor \frac{40}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{19}{4} \right\rfloor = 10 - 4 = 6\]

Łączna liczba elementów: \(21\). Zatem:
\[P = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}\]

Wynik zgodny z pierwszym sposobem. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]

Gdzie \(|\Omega| = 21\) (przestrzeń zdarzeń elementarnych - wszystkie liczby ze zbioru), \(|A| = 6\) (zdarzenia sprzyjające - liczby podzielne przez 4).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błędne rozumowanie | Skąd ten wynik |
| A. \(\frac{1}{4}\) | Skrót myślowy: „co czwarta liczba jest podzielna przez 4, więc szansa to \(\frac{1}{4}\)" - bez liczenia zbioru. Albo: zbiór \(\{21, \ldots, 40\}\) = 20 el., multiples: 24, 28, 32, 36, 40 → \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\) | Pominięcie 20 lub złe granice |
| C. \(\frac{6}{19}\) | Błędne policzenie elementów zbioru: \(40 - 20 = 20\), a potem jeszcze jedno pomylenie → 19 elementów, liczba wielokrotności 6 | Dwa błędy naraz w zliczaniu |
| D. \(\frac{3}{10}\) | Poprawna liczba wielokrotności (\(6\)), ale zły mianownik: \(40 - 20 = 20\) bez "+1" → \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) | Pominięcie "+1" przy liczeniu zbioru |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Licząc elementy zbioru \(\{a, a+1, \ldots, b\}\) zawsze dodaj 1: wynik to \(b - a + 1\), nie \(b - a\). Tu: \(40 - 20 + 1 = 21\), nie 20.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy obie granice (tu: 20 i 40) należą do zbioru i czy są podzielne przez 4. Obie są - to 2 z 6 wielokrotności, które łatwo pominąć.

> ⚠️ **Uwaga:** Intuicja „co 4. liczba → prawdopodobieństwo \(\frac{1}{4}\)" działa tylko dla **nieskończonych** zbiorów. W skończonym zbiorze trzeba liczyć wprost.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)
Zbiór \(\{20, 21, \ldots, 40\}\) ma \(40-20+1 = 21\) elementów.
Liczby podzielne przez \(4\) w tym zbiorze: \(20, 24, 28, 32, 36, 40\) - **6 liczb**.
Prawdopodobieństwo: \(P = \dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}\).

### Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny wielokrotności
\(20 = 4\cdot 5\), \(40 = 4\cdot 10\). Mnożniki od \(5\) do \(10\): \(10-5+1=6\) liczb. \(P = 6/21 = 2/7\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{1}{4}\)** - co czwarta liczba (przybliżenie), ale \(\tfrac{6}{21}=\tfrac{2}{7}\) dokładnie.
- **C. \(\tfrac{6}{19}\)** - błędna liczba wszystkich elementów (\(19\) zamiast \(21\)).
- **D. \(\tfrac{3}{10}\)** - błędny kontekst.

**Trik:** licz elementy zbioru: \(\max-\min+1\), nie różnicę!

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 .
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_