# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż nierówność \(x(7x + 2) > 7x + 2\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[x \in \left(-\infty,\ -\frac{2}{7}\right) \cup \left(1,\ +\infty\right)\]

czyli \(x < -\dfrac{2}{7}\) lub \(x > 1\).

## Sposób 1 - przeniesienie wszystkiego na lewą stronę i faktoryzacja

**Krok 1.** Przenieś wszystko na lewą stronę:

\[x(7x+2) - (7x+2) > 0\]

**Krok 2.** Wyłącz wspólny czynnik \((7x+2)\) przed nawias:

\[(7x+2)(x-1) > 0\]

To jest teraz nierówność iloczynowa - iloczyn dwóch wyrażeń jest **większy od zera**.

**Krok 3.** Znajdź miejsca zerowe obu czynników:

\[7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}\]
\[x - 1 = 0 \implies x = 1\]

**Krok 4.** Narysuj tabelę znaków (parabola \(7x^2 - 5x - 2\) z dodatnim współczynnikiem przy \(x^2\), więc ramiona skierowane w górę):

| Przedział | \((7x+2)\) | \((x-1)\) | Iloczyn |
| \(x < -\frac{2}{7}\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) ✓ |
| \(-\frac{2}{7} < x < 1\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) ✗ |
| \(x > 1\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✓ |

**Krok 5.** Nierówność jest ostra (\(> 0\)), więc punkty \(x = -\frac{2}{7}\) oraz \(x = 1\) **nie należą** do rozwiązania.

\[\boxed{x \in \left(-\infty,\ -\frac{2}{7}\right) \cup \left(1,\ +\infty\right)}\]

## Sposób 2 - rozwinięcie do trójmianu kwadratowego i wzór na miejsca zerowe

**Krok 1.** Rozwiń lewą stronę i przenieś prawą:

\[7x^2 + 2x > 7x + 2\]
\[7x^2 + 2x - 7x - 2 > 0\]
\[7x^2 - 5x - 2 > 0\]

**Krok 2.** Oblicz wyróżnik:

\[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81\]

**Krok 3.** Wyznacz miejsca zerowe:

\[x_1 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}\]
\[x_2 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1\]

**Krok 4.** Ponieważ \(a = 7 > 0\), parabola ma ramiona skierowane w górę - trójmian jest **dodatni na zewnątrz** przedziału \(\left\langle -\frac{2}{7},\ 1\right\rangle\):

\[7x^2 - 5x - 2 > 0 \iff x < -\frac{2}{7} \quad \text{lub} \quad x > 1\]

Wynik identyczny jak w Sposobie 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe trójmianu:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyte w Sposobie 2 do znalezienia pierwiastków \(7x^2 - 5x - 2\).

Dla Sposobu 1 korzystamy z prostszej faktoryzacji (wzory skróconego mnożenia / rozkład na czynniki) - nie potrzebujemy wzoru na \(\Delta\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **podzielenie obu stron przez \((7x+2)\)** bez analizy znaku. Gdy \(7x+2 < 0\), dzielenie odwraca nierówność - dlatego bezpieczniej jest przenosić na jedną stronę i faktoryzować.

> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\(>\), a nie \(\geq\)), więc punkty \(x = -\frac{2}{7}\) i \(x = 1\) **nie są** rozwiązaniem. Przedziały są otwarte!

> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu trójmian ma postać \(7x^2 - 5x - 2 > 0\). Nie pomyl znaku przy \(5x\) - na etapie przenoszenia \(-7x\) na lewą stronę łatwo zgubić minus.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, -\tfrac{2}{7}\right) \cup (1, +\infty)\).

### Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej (karta wzorów)
\(x(7x+2) > 7x+2\)
\(7x^2 + 2x - 7x - 2 > 0\)
\(7x^2 - 5x - 2 > 0\).
Wyróżnik: \(\Delta = 25 + 56 = 81\), \(\sqrt{\Delta} = 9\).
\[x_1 = \dfrac{5-9}{14} = -\dfrac{2}{7}, \quad x_2 = \dfrac{5+9}{14} = 1.\]
Ramiona paraboli skierowane do góry (\(a=7>0\)), więc \(> 0\) na zewnątrz pierwiastków:
\[x \in \left(-\infty, -\tfrac{2}{7}\right) \cup (1, +\infty).\]

### Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\(x(7x+2) - (7x+2) > 0\)
\((7x+2)(x-1) > 0\).
Miejsca zerowe: \(x = -\tfrac{2}{7}\) i \(x = 1\). Parabola w górę - \(> 0\) poza pierwiastkami.
\[x \in \left(-\infty, -\tfrac{2}{7}\right) \cup (1, +\infty).\]

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 p.** za obliczenie pierwiastków trójmianu \(x_1 = -\tfrac{2}{7}, x_2 = 1\).
- **2 p.** za zapis zbioru rozwiązań.
- **0 p.** jeśli podzielimy obie strony przez \(7x+2\) bez rozważenia założeń!

**Trik:** wyłączenie wspólnego czynnika \((7x+2)\) jest szybsze niż wzór kwadratowy.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_