# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 27. (0-2)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:
Odpowiedź:
2
3
8
3
3
3
x
x
x
x

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3x²-8x+3 / x-3 = x-3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x = -2\)

## Sposób 1 - Rozkład licznika na czynniki

**Dziedzina:** Mianownik nie może być zerem, więc \(x \neq 3\).

**Rozkładamy licznik** \(3x^2 - 8x - 3\) na czynniki. Liczymy wyróżnik:
\[\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\]
\[x_1 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\]

Zatem postać iloczynowa:
\[3x^2 - 8x - 3 = 3\left(x + \frac{1}{3}\right)(x - 3) = (3x + 1)(x - 3)\]

Sprawdzenie: \((3x+1)(x-3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3\) ✓

Wstawiamy do równania:
\[\frac{(3x+1)(x-3)}{x-3} = x - 3\]

Ponieważ \(x \neq 3\), możemy skrócić przez \((x-3)\):
\[3x + 1 = x - 3\]
\[2x = -4\]
\[\boxed{x = -2}\]

**Sprawdzenie:** Lewa strona: \(\dfrac{3 \cdot 4 - 8 \cdot(-2) - 3}{-2-3} = \dfrac{12+16-3}{-5} = \dfrac{25}{-5} = -5\). Prawa strona: \(-2 - 3 = -5\). ✓

## Sposób 2 - Mnożenie obu stron przez \((x-3)\)

**Dziedzina:** \(x \neq 3\).

Mnożymy obie strony przez \((x-3)\), co jest dozwolone, bo \(x - 3 \neq 0\):
\[3x^2 - 8x - 3 = (x-3)^2\]
\[3x^2 - 8x - 3 = x^2 - 6x + 9\]

Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[2x^2 - 2x - 12 = 0\]
\[x^2 - x - 6 = 0\]
\[(x-3)(x+2) = 0\]

Stąd \(x = 3\) lub \(x = -2\).

Ale \(x = 3\) **nie należy do dziedziny** (zeruje mianownik), więc jedynym rozwiązaniem jest:
\[\boxed{x = -2}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyte w Sposobie 1 do rozkładu licznika \(3x^2 - 8x - 3\) na czynniki liniowe.

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyte w Sposobie 2 do rozwinięcia \((x-3)^2\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o warunku dziedziny. Sposób 2 daje dwa rozwiązania: \(x = 3\) i \(x = -2\). Uczeń, który nie sprawdzi dziedziny, poda oba - a \(x = 3\) jest **pozornym rozwiązaniem** (zeruje mianownik!).

> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez \((x-3)\), pamiętaj że robisz to tylko pod warunkiem \(x \neq 3\). Nie wolno mnożyć przez wyrażenie, które może być zerem, bez uprzedniego wykluczenia tego przypadku.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 skrócenie \(\dfrac{(3x+1)(x-3)}{x-3} = 3x+1\) jest legalne tylko wtedy, gdy \(x \neq 3\) - co już założyliśmy na początku przy wyznaczaniu dziedziny.

**Odpowiedź:** \(x = -2\).

### Sposób 1 - Mnożenie stron (karta wzorów)
Założenie: \(x \neq 3\). Mnożymy obie strony przez \(x-3\):
\[3x^2 - 8x - 3 = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9.\]
Przenosimy na jedną stronę:
\[2x^2 - 2x - 12 = 0 \iff x^2 - x - 6 = 0.\]
Wyróżnik: \(\Delta = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{\Delta}=5\).
\(x_1 = \tfrac{1-5}{2} = -2\), \(x_2 = \tfrac{1+5}{2} = 3\).
Warunek \(x \neq 3\) wyklucza \(x_2=3\). Rozwiązanie: \(\boxed{x = -2}\).

### Sposób 2 - Rozkład licznika
\(3x^2 - 8x - 3 = (x-3)(3x+1)\) (sprawdzenie: \((x-3)(3x+1) = 3x^2 + x - 9x - 3 = 3x^2 - 8x - 3\) ✓).
Zatem dla \(x \neq 3\): \(\dfrac{(x-3)(3x+1)}{x-3} = 3x+1\). Równanie: \(3x+1 = x-3 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 p.** za pierwiastki lub rozkład \((x-3)(3x+1)\).
- **2 p.** za pełne rozwiązanie \(x = -2\).
- **0 p.** jeśli rozkład bez \((x-3)\).

**Trik:** rozkład licznika często pozwala uniknąć obliczania wyróżnika.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (6 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 0 4 2 2 < x Podaj wszystkie rozwiązania równania 3 2 6 4 24 0 x x x , które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (6 pkt) Dane są zbiory liczb rzeczywistych: { } : 2 3 A x x 〈 ( ) { } 3 3 2 : 2 1 8 13 6 3 B x x x x x ≤ Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbio
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-5) Rozwiąż nierówność 𝒙-𝟏 𝒙𝟐-𝟒- 𝟏 𝟐-𝒙≥ 𝟑 𝟐+ 𝒙+ 𝟐 Zapisz obliczenia. 8. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy 960 złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy ucz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_