# Matematyka — zadanie 28 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/28 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 28. (0-2) Dany jest trójkąt . Punkt jest środkiem boku tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów i od prostej są równe. ABC S AB A B CS B C S MMA_1P Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte - wymagane uzasadnienie) Należy wykazać, że odległość punktu \(A\) od prostej \(CS\) jest równa odległości punktu \(B\) od prostej \(CS\). ## Sposób 1 - przez pola trójkątów (pole = podstawa × wysokość) **Kluczowa obserwacja:** Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej opuszczonej na tę prostą. Jeśli trójkąt ma podstawę leżącą na danej prostej, to odległość wierzchołka od tej prostej jest jednocześnie **wysokością trójkąta** do tej podstawy. **Krok 1.** Zaznaczamy dwa trójkąty z wspólną podstawą \(CS\): - trójkąt \(ACS\) - wierzchołek \(A\) nad podstawą \(CS\) - trójkąt \(BCS\) - wierzchołek \(B\) nad podstawą \(CS\) Niech \(d_A\) będzie odległością punktu \(A\) od prostej \(CS\), a \(d_B\) - odległością punktu \(B\) od prostej \(CS\). Pola tych trójkątów: \[P_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot |CS| \cdot d_A\] \[P_{BCS} = \frac{1}{2} \cdot |CS| \cdot d_B\] **Krok 2.** Liczymy te same pola inaczej - z podstawą \(AB\). Niech \(h\) będzie odległością punktu \(C\) od prostej \(AB\) (wysokość w trójkącie \(ABC\) opuszczona z \(C\)). \[P_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot |AS| \cdot h\] \[P_{BCS} = \frac{1}{2} \cdot |BS| \cdot h\] **Krok 3.** Ponieważ \(S\) jest środkiem boku \(AB\): \[|AS| = |BS|\] Zatem: \[P_{ACS} = \frac{1}{2} \cdot |AS| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot |BS| \cdot h = P_{BCS}\] **Krok 4.** Z kroku 1 i kroku 3: \[\frac{1}{2} \cdot |CS| \cdot d_A = \frac{1}{2} \cdot |CS| \cdot d_B\] Dzielimy obie strony przez \(\frac{1}{2} \cdot |CS|\) (niezerowe, bo \(C\), \(S\) to różne punkty): \[\boxed{d_A = d_B}\] Co należało wykazać. \(\blacksquare\) ## Sposób 2 - przez układ współrzędnych Wprowadzamy układ współrzędnych tak, aby obliczenia były jak najprostsze. **Krok 1.** Umieszczamy \(S\) w początku układu współrzędnych. Ponieważ \(S\) jest środkiem \(AB\), przyjmujemy symetrycznie: \[S = (0, 0), \quad A = (-a, 0), \quad B = (a, 0) \quad \text{dla pewnego } a > 0\] \[C = (c_x, c_y) \quad \text{(dowolny punkt, } C \notin AB\text{)}\] **Krok 2.** Wyznaczamy równanie prostej \(CS\). Prosta przechodzi przez \(S = (0,0)\) i \(C = (c_x, c_y)\), więc jej równanie ogólne: \[c_y \cdot x - c_x \cdot y = 0\] **Krok 3.** Liczymy odległości od prostej \(c_y x - c_x y = 0\). Wzór na odległość punktu \((x_0, y_0)\) od prostej \(Ax + By + C = 0\): \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Dla punktu \(A = (-a, 0)\): \[d_A = \frac{|c_y \cdot (-a) - c_x \cdot 0|}{\sqrt{c_y^2 + c_x^2}} = \frac{a|c_y|}{\sqrt{c_x^2 + c_y^2}}\] Dla punktu \(B = (a, 0)\): \[d_B = \frac{|c_y \cdot a - c_x \cdot 0|}{\sqrt{c_y^2 + c_x^2}} = \frac{a|c_y|}{\sqrt{c_x^2 + c_y^2}}\] **Krok 4.** Wprost: \[d_A = d_B \qquad \blacksquare\] ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Użyte w Sposobie 2 do obliczenia odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\). **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] Użyte w Sposobie 1 - wyrażono pola trójkątów \(ACS\) i \(BCS\) na dwa sposoby (raz z podstawą \(CS\), raz z podstawą \(AB\)). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy powiedzieć „bo \(|AS| = |BS|\)". Trzeba pokazać, jak ta równość przekłada się na równe odległości od prostej - przez pole lub przez wzór analityczny. > ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie przez pola kluczowe jest, że obydwa trójkąty (\(ACS\) i \(BCS\)) mają **tę samą wysokość \(h\)** opuszczoną z \(C\) na prostą \(AB\) - dopiero to pozwala porównać pola. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 wybór układu współrzędnych z \(S\) w początku układu i \(AB\) wzdłuż osi \(x\) bardzo upraszcza obliczenia. Zawsze warto wybrać układ współrzędnych tak, żeby jak najwięcej współrzędnych wynosiło zero. **Dowód.** ### Sposób 1 - Własność środkowej (karta wzorów) Odcinek \(CS\) jest **środkową** trójkąta \(ABC\) (bo \(S\) jest środkiem \(AB\)). Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o **równych polach**: \(P_{ASC} = P_{BSC}\). Oba trójkąty mają wspólną podstawę \(CS\). Skoro \(P = \tfrac{1}{2}\cdot|CS|\cdot h\), a pola są równe i \(|CS|\) wspólna, to wysokości opuszczone z \(A\) i \(B\) na prostą \(CS\) są **równe**. Odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) to właśnie te wysokości. $\blacksquare$ ### Sposób 2 - Przystawanie trójkątów Opuszczamy prostopadłe \(AA' \perp CS\) i \(BB' \perp CS\). W trójkątach \(ASA'\) i \(BSB'\): - \(|AS| = |BS|\) (\(S\) środkiem \(AB\)), - \(\angle A'SA = \angle B'SB\) (kąty wierzchołkowe), - \(\angle AA'S = \angle BB'S = 90°\). Z cechy **kbk** (kąt-bok-kąt): \(\triangle ASA' \cong \triangle BSB'\). Stąd \(|AA'| = |BB'|$. $\blacksquare$ ### Sposób 3 - Funkcje trygonometryczne Prostopadłe \(AA', BB'\) do \(CS\). Kąty \(\angle A'AS = \angle B'BS = \alpha\) (naprzemianległe, \(AA' \parallel BB'\)). \(\sin\alpha = \dfrac{|AA'|}{|AS|} = \dfrac{|BB'|}{|BS|}\). Ponieważ \(|AS|=|BS|\), to \(|AA'| = |BB'|$. $\blacksquare$ ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 p.** za stwierdzenie równości pól \(\triangle ASC\) i \(\triangle BSC\) (lub równoważne). - **2 p.** za pełne rozumowanie. - **0 p.** za założenie, że \(\triangle ABC\) jest równoramienny lub prostokątny. **Trik:** środkowa dzieli trójkąt na dwa o równych polach - klucz do wysokości. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/28) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F28) ## Podobne zadania - [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (0-2) Dany jest trójkąt . Punkt jest środkiem boku tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów i od prostej są równe. ABC S AB A B _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_