# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby
i dla każdej liczby
prawdziwa jest nierówność
0
a >
0
b >
1
1
4
a
b
a
b
≥

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1/a + 1/b ≥ 4/a+b.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Dowód

Należy wykazać, że dla każdego \(a > 0\) i \(b > 0\):
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}\]

## Sposób 1 - Sprowadzenie do kwadratu różnicy

**Idea:** przekształcamy nierówność do równoważnej, prostszej postaci. Ponieważ wszystkie przekształcenia są równoważne (mnożymy przez wyrażenia dodatnie), zachowanie znaku nierówności jest gwarantowane.

**Krok 1.** Upraszczamy lewą stronę:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab}\]

Nierówność przyjmuje postać:
\[\frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b}\]

**Krok 2.** Ponieważ \(a > 0\) i \(b > 0\), mamy \(ab > 0\) oraz \(a + b > 0\).
Możemy więc pomnożyć obie strony przez \(ab(a+b) > 0\) - znak nierówności **nie zmienia się**:
\[(a+b)^2 \geq 4ab\]

**Krok 3.** Rozwijamy lewą stronę:
\[a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab\]

**Krok 4.** Przenosimy \(4ab\) na lewą stronę:
\[a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\]

**Krok 5.** Lewa strona to pełny kwadrat:
\[(a - b)^2 \geq 0\]

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - to **prawda zawsze**, niezależnie od wartości \(a\) i \(b\).

Ponieważ każdy krok był równoważny, nierówność wyjściowa jest prawdziwa dla każdego \(a > 0\), \(b > 0\). \(\blacksquare\)

> **Równość** zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \((a-b)^2 = 0\), czyli gdy \(a = b\).

## Sposób 2 - Wykazanie nieujemności różnicy LHS - RHS

**Idea:** zamiast przekształcać nierówność, obliczamy \(\text{LHS} - \text{RHS}\) i pokazujemy, że jest \(\geq 0\).

**Krok 1.** Obliczamy \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{a+b}\) - sprowadzamy do wspólnego mianownika \(ab(a+b)\):

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a+b) - 4ab}{ab(a+b)}\]

**Krok 2.** Rozwijamy licznik:
\[b(a+b) + a(a+b) - 4ab = ab + b^2 + a^2 + ab - 4ab = a^2 - 2ab + b^2\]

**Krok 3.** Zatem:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\]

**Krok 4.** Oceniamy znak każdego czynnika:
- \((a-b)^2 \geq 0\) - kwadrat jest zawsze nieujemny
- \(ab > 0\) - bo \(a > 0\) i \(b > 0\)
- \(a + b > 0\) - bo \(a > 0\) i \(b > 0\)

Zatem mianownik jest **dodatni**, licznik jest **nieujemny**, więc cały ułamek:
\[\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)} \geq 0\]

Stąd:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{a+b} \geq 0 \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \quad \blacksquare\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Użyliśmy tego wzoru w obu metodach - kluczowy krok to rozpoznanie, że \(a^2 - 2ab + b^2\) jest kwadratem różnicy, a więc wyrażeniem nieujemnym. To serce całego dowodu.

Poza tym zadanie opiera się na **podstawowych własnościach nierówności** (mnożenie przez wyrażenie dodatnie nie zmienia znaku) - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale to fundament każdego dowodu nierówności.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno mnożyć obu stron nierówności przez wyrażenie, jeśli nie wiesz, czy jest ono dodatnie! Tutaj \(ab > 0\) i \(a+b > 0\) wynika wprost z założeń \(a > 0\), \(b > 0\) - koniecznie to napisz w rozwiązaniu!

> ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie "przez równoważność" musisz zadbać, żeby każde przejście było dokładnie równoważne (strzałka w obie strony \(\iff\)), a nie tylko w jedną stronę. Jeśli gdzieś mnożysz przez wyrażenie, którego znaku nie sprawdziłeś - możesz dostać błędny "dowód".

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o warunku \(a = b\) jako przypadku równości - dobry egzaminator doceni, gdy zaznaczysz, kiedy zachodzi równość, a nie tylko nierówność ostra.

**Dowód.**

### Sposób 1 - Mnożenie stron przez \(ab(a+b)\)
Ponieważ \(a, b > 0\), to \(ab(a+b) > 0\). Mnożymy obie strony:
\[b(a+b) + a(a+b) \geq 4ab.\]
\[ab + b^2 + a^2 + ab \geq 4ab.\]
\[a^2 - 2ab + b^2 \geq 0.\]
\[(a-b)^2 \geq 0.\]
Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa (kwadrat liczby rzeczywistej). Wszystkie przekształcenia są równoważne (mnożnik dodatni). $\blacksquare$

### Sposób 2 - Sprowadzenie do sumy \(\tfrac{x}{y}+\tfrac{y}{x}\)
Mnożąc obie strony przez \(a+b > 0\):
\[\dfrac{a+b}{a} + \dfrac{a+b}{b} \geq 4.\]
\[1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 \geq 4.\]
\[\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \geq 2.\]
To **klasyczna nierówność średniej arytmetycznej i geometrycznej** dla liczby dodatniej i jej odwrotności (lub: \(\tfrac{b}{a} + \tfrac{a}{b} - 2 = \tfrac{(b-a)^2}{ab} \geq 0\)). $\blacksquare$

### Sposób 3 - Nierówność między średnią harmoniczną i arytmetyczną (karta wzorów)
\[\dfrac{a+b}{2} \geq \dfrac{2}{\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}}.\]
Mnożąc obie strony przez \(\dfrac{2(\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b})}{a+b}\) (dodatnie):
\[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b}. \quad \blacksquare\]

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 p.** za sprowadzenie do \((a-b)^2 \geq 0\) lub \(\tfrac{b}{a}+\tfrac{a}{b} \geq 2\).
- **2 p.** za pełne rozumowanie.
- **0 p.** jeśli sprawdzamy tylko dla konkretnych \(a, b\).

**Trik:** sprowadzaj do kwadratu \((a-b)^2\) - gwarantowanie nieujemne.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒂 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒃 takich, że 𝒃≠𝟏 𝟐𝒂, prawdziwa jest nierówność 
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚, spełniających warunek 𝒙+ 𝒚≥𝟏, prawdziwa jest nierówność 𝒙𝟑+ 𝟐
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 i 𝑐 takich, że 𝑎+𝑏 2 > 𝑐 i 𝑏+𝑐 2 > 𝑎, prawdziwa jest nierówność 𝑎+ 𝑐 2 < 𝑏 EMAP-P0_100 Rozwi
- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (0-2) Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek 4 a < i 4 b < , to 16 4 4 ab a b > MMA_1P

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_