# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 3. (0-1)
Jedną z liczb spełniających nierówność
jest
A.
B. 0
C. 3
D.
5
Rozwiązanie zadania. Jedną z liczb spełniających nierówność (x-6)⋅(x-2)^2⋅(x+4)⋅(x+10) > 0 jest A. -5 B. 0 C. 3 D. 5

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A \((-5)\)

## Sposób 1 - Tabela znaków (analiza zer i przedziałów)

**Krok 1: Znajdź zera wyrażenia**

Wyrażenie \((x-6)(x-2)^2(x+4)(x+10)\) równa się zero, gdy:
\[x = 6, \quad x = 2, \quad x = -4, \quad x = -10\]

Ustawiamy je na osi liczbowej w kolejności rosnącej:
\[-10 < -4 < 2 < 6\]

**Krok 2: Kluczowa obserwacja - czynnik \((x-2)^2\)**

Ponieważ \((x-2)^2 \geq 0\) dla każdego \(x\), i jest zerem tylko dla \(x = 2\), **nie zmienia znaku wyrażenia** - jedynie wyzerowuje je w \(x = 2\).

Dla \(x \neq 2\) wystarczy zbadać znak:
\[(x-6)(x+4)(x+10) > 0\]

**Krok 3: Tabela znaków**

| Przedział | \((x-6)\) | \((x+4)\) | \((x+10)\) | Iloczyn |
| \(x < -10\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-10 < x < -4\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) ✓ |
| \(-4 < x < 6\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) |
| \(x > 6\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) ✓ |

(Wykluczamy punkty \(x = -10, -4, 2, 6\), bo tam wyrażenie \(= 0\), nie \(> 0\))

**Krok 4: Rozwiązanie nierówności**

Wyrażenie jest dodatnie dla:
\[x \in (-10,\, -4) \cup (6,\, +\infty)\]

**Krok 5: Sprawdzenie odpowiedzi**

Sprawdzamy, która z oferowanych liczb leży w wyznaczonym zbiorze:
- \(A:\; -5 \in (-10, -4)\) - **TAK** ✓
- \(B:\; 0 \in (-4, 6)\) - NIE
- \(C:\; 3 \in (-4, 6)\) - NIE
- \(D:\; 5 \in (-4, 6)\) - NIE

**Odpowiedź: A**

## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie

Bez analizy całego zbioru, szybko sprawdzamy każdą odpowiedź z osobna:

**Odpowiedź A: \(x = -5\)**
\[(-5-6)\cdot(-5-2)^2\cdot(-5+4)\cdot(-5+10)\]
\[= (-11)\cdot 49 \cdot (-1)\cdot 5 = (-11)\cdot 49 \cdot (-5) = 2695 > 0 \quad \checkmark\]

**Odpowiedź B: \(x = 0\)**
\[(0-6)\cdot(0-2)^2\cdot(0+4)\cdot(0+10)\]
\[= (-6)\cdot 4 \cdot 4 \cdot 10 = -960 < 0 \quad \times\]

**Odpowiedź C: \(x = 3\)**
\[(3-6)\cdot(3-2)^2\cdot(3+4)\cdot(3+10)\]
\[= (-3)\cdot 1 \cdot 7 \cdot 13 = -273 < 0 \quad \times\]

**Odpowiedź D: \(x = 5\)**
\[(5-6)\cdot(5-2)^2\cdot(5+4)\cdot(5+10)\]
\[= (-1)\cdot 9 \cdot 9 \cdot 15 = -1215 < 0 \quad \times\]

Jedynie \(x = -5\) spełnia nierówność.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zasady znaków iloczynu i analiza zer wielomianu. Jedyną potrzebną własnością jest:

> iloczyn jest **dodatni** \(\iff\) parzysta liczba czynników ujemnych (0, 2, 4, )

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Liczba | Przedział | Błąd |
| B | \(0\) | \((-4, 6)\) | Trzy spośród czterech czynników mają znaki \(-,+,+,+\) → iloczyn ujemny |
| C | \(3\) | \((-4, 6)\) | Jak wyżej; uczeń może myśleć, że \((3-2)^2 = 1\) "ratuje" wynik - nie ratuje, bo reszta daje \(<0\) |
| D | \(5\) | \((-4, 6)\) | Jak wyżej; \(5\) leży blisko \(6\), ale nadal wewnątrz "złego" przedziału |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \((x-2)^2\) jest zawsze nieujemny - **nie zmienia znaku** wyrażenia w pozostałych przedziałach, jedynie zeruje całe wyrażenie w \(x = 2\). Nie traktuj go jak zwykłego czynnika liniowego przy analizie znaków!

> ⚠️ **Uwaga:** Granice przedziałów (\(x = -10, -4, 2, 6\)) **nie** należą do zbioru rozwiązań, bo tam wyrażenie \(= 0\), a my szukamy ściśle \(> 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy szybkim podstawieniu pamiętaj, że \((-5-2)^2 = (-7)^2 = 49 > 0\) - potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia. To typowe miejsce pomyłki rachunkowej.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Podstawienie każdej odpowiedzi
Czynnik \((x-2)^2 \geq 0\) zawsze. Wystarczy, by iloczyn \((x-6)(x+4)(x+10)\) był dodatni (i \(x \neq 2\)).
- \(x=-5\): \((-11)(-1)(5) = 55 > 0\) ✓
- \(x=0\): \((-6)(4)(10) = -240 < 0\) ✗
- \(x=3\): \((-3)(7)(13) = -273 < 0\) ✗
- \(x=5\): \((-1)(9)(15) = -135 < 0\) ✗

### Sposób 2 - Miejsca zerowe i znaki
Miejsca zerowe: \(-10, -4, 2\) (podwójny), \(6\). \((x-2)^2\) nie zmienia znaku. Znaki zmieniają się w \(-10, -4, 6\).
Zbiór dodatni: \((-10,-4) \cup (6,+\infty)\). Tylko \(-5 \in (-10,-4)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B, C, D** (0, 3, 5) - wszystkie w przedziałach, gdzie iloczyn jest ujemny.

**Trik:** parzysta potęga nie zmienia znaku - pomiń \((x-2)^2\) przy analizie znaków.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_