# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 30. (0-2)
W ciągu geometrycznym przez
n
S oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla
liczb naturalnych
1
n ≥. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:
2
1 =
S
i
12
2 =
S
Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. W ciągu geometrycznym przez S_n oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n≥1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S_1=2 i S_2=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

Iloraz ciągu: \(q = 5\), piąty wyraz: \(a_5 = 1250\)

## Sposób 1 - bezpośrednio z definicji sumy

**Krok 1: Wyznaczamy pierwszy wyraz.**

\(S_1\) to suma **jednego** pierwszego wyrazu, więc:
\[S_1 = a_1 = 2\]

**Krok 2: Wyznaczamy drugi wyraz.**

\(S_2\) to suma **dwóch** pierwszych wyrazów:
\[S_2 = a_1 + a_2 = 12\]
\[2 + a_2 = 12\]
\[a_2 = 10\]

**Krok 3: Wyznaczamy iloraz.**

W ciągu geometrycznym \(a_2 = a_1 \cdot q\), więc:
\[q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{10}{2} = 5\]

**Krok 4: Wyznaczamy piąty wyraz.**

\[a_5 = a_1 \cdot q^{4} = 2 \cdot 5^4 = 2 \cdot 625 = \mathbf{1250}\]

## Sposób 2 - przez wzór ogólny na \(S_n\)

Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \(q \neq 1\)):
\[S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\]

**Krok 1:** Z \(S_1 = a_1 = 2\) - tak samo jak wyżej.

**Krok 2:** Podstawiamy \(n = 2\):
\[S_2 = a_1 \cdot \frac{1 - q^2}{1 - q} = a_1 \cdot (1 + q)\]

(uprościliśmy: \(\frac{1-q^2}{1-q} = \frac{(1-q)(1+q)}{1-q} = 1+q\))

**Krok 3:** Podstawiamy wartości:
\[12 = 2 \cdot (1 + q)\]
\[6 = 1 + q\]
\[q = 5\]

**Krok 4:** Piąty wyraz:
\[a_5 = 2 \cdot 5^4 = 2 \cdot 625 = \mathbf{1250}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Użyty w Kroku 4 obu sposobów do obliczenia \(a_5\).

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego:
\[S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)\]
Użyty bezpośrednio w Sposobie 2.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** \(S_1 = a_1\) - to **nie jest** jakaś specjalna informacja, to po prostu definicja: suma jednego wyrazu to ten wyraz. Nie szukaj tu niczego ukrytego.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(a_2\) z \(S_2\). Pamiętaj: \(S_2 = a_1 + a_2\), więc \(a_2 = S_2 - S_1 = 12 - 2 = 10\), a nie \(a_2 = S_2 = 12\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \(a_5 = a_1 \cdot q^4\) - wykładnik to \(n-1 = 4\), nie \(5\). To częsty błąd: \(5^5\) zamiast \(5^4\).

**Odpowiedź:** \(q = 5\), \(a_5 = 1250\).

### Sposób 1 - Z definicji sum cząstkowych (karta wzorów)
\(S_1 = a_1 = 2\), więc \(a_1 = 2\).
\(S_2 = a_1 + a_2 = 12\), więc \(a_2 = 12 - 2 = 10\).
Iloraz: \(q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{10}{2} = 5\).
Piąty wyraz (karta wzorów): \(a_5 = a_1 \cdot q^4 = 2 \cdot 5^4 = 2 \cdot 625 = 1250\).

### Sposób 2 - Wypisanie wyrazów
\(a_1 = 2, a_2 = 10\), więc \(q = 5\). Kolejne: \(a_3 = 50, a_4 = 250, a_5 = 1250\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 p.** za poprawne wyznaczenie \(q = 5\).
- **2 p.** za obliczenie \(q = 5\) i \(a_5 = 1250\).
- **0 p.** jeśli traktuje iloraz \(S_2/S_1\) jako iloraz ciągu.
- **0 p.** jeśli rozpatruje ciąg arytmetyczny zamiast geometrycznego.

**Trik:** \(S_1 = a_1\), a \(S_2 - S_1 = a_2\) - tak znajdujesz pierwsze dwa wyrazy z sum cząstkowych.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_