# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.
Odpowiedź:

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\frac{1}{36}\)

## Sposób 1 - Wyliczenie sprzyjających układów (enumeracja)

**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**

Każdy rzut daje wynik od 1 do 6, rzuty są niezależne, więc:
\[|\Omega| = 6^3 = 216\]

**Szukamy:** ile układów \((a, b, c)\) spełnia \(a + b + c = 16\), gdzie \(a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

**Uwaga:** maksymalna możliwa suma to \(6 + 6 + 6 = 18\), więc suma 16 jest możliwa - jest blisko maksimum, co już podpowiada, że sprzyjających układów będzie mało.

Szukamy trójek (bez uwzględnienia kolejności), a potem liczymy permutacje:

| Skład (rosnąco) | Liczba permutacji |
| \((4, 6, 6)\): trzy różne pozycje "czwórki" | \(\frac{3!}{2!} = 3\) |
| \((5, 5, 6)\): trzy różne pozycje "szóstki" | \(\frac{3!}{2!} = 3\) |

**Sprawdzenie kompletności:** Nie ma innych rozkładów:
- \((3, 7, 6)\) - niemożliwe (\(7 > 6\))
- \((6, 6, 4)\) - to to samo co \((4,6,6)\)

**Liczba zdarzeń sprzyjających:**
\[|A| = 3 + 3 = 6\]

**Prawdopodobieństwo:**
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{216} = \boxed{\frac{1}{36}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez jawne wypisanie wszystkich układów

Wypisujemy **wszystkie** układy \((a, b, c)\) z sumą 16:

Z rozkładu \((4, 6, 6)\):
\[(4,6,6),\quad (6,4,6),\quad (6,6,4)\]

Z rozkładu \((5, 5, 6)\):
\[(5,5,6),\quad (5,6,5),\quad (6,5,5)\]

Łącznie: **6 układów** - żadnego więcej nie ma (sprawdzamy: \((3,7,6)\) niemożliwe, \((4,5,7)\) niemożliwe itd.).

\[P(A) = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\]

Wynik potwierdzony.

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \(|A| = 6\), \(|\Omega| = 216\).

**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - permutacje z powtórzeniami:
\[\frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots}\]
Użyliśmy do policzenia, na ile sposobów można ułożyć trójki \((4,6,6)\) i \((5,5,6)\): po \(\frac{3!}{2!} = 3\) każda.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Policzono tylko jeden rozkład (np. tylko \((4,6,6)\)) i wzięto \(\frac{3}{216} = \frac{1}{72}\), lub błędnie wyznaczono \(|\Omega| = 6 \cdot 3 = 18\) |
| C | Zapomniano podzielić przez \(|\Omega|\) i podano samą liczbę układów (\(6\)) jako odpowiedź, albo wzięto \(|\Omega| = 6^2 = 36\) zamiast \(6^3\) |
| D | Policzono **bez uwzględnienia kolejności** - wzięto tylko 2 rozkłady (zamiast 6 uporządkowanych układów), co daje \(\frac{2}{216} = \frac{1}{108}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że \((4,6,6)\) i \((6,4,6)\) to **dwa różne zdarzenia elementarne** - kolejność rzutów ma znaczenie! Przestrzeń zdarzeń to **uporządkowane** trójki.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj wszystkie rozkłady sumy. Przy sumie 16 blisko maksimum (18) jest ich mało - ale pominięcie choćby jednego rozkładu daje błędny wynik o połowę.

> ⚠️ **Uwaga:** \(|\Omega| = 6^3 = 216\), **nie** \(6 \cdot 3 = 18\) ani \(3 \cdot 6 = 18\). Trzy kostki - trzy niezależne rzuty - przestrzeń jest iloczynem kartezjańskim trzech zbiorów sześcioelementowych.

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{1}{36}\).

### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)
Przestrzeń zdarzeń: trzywyrazowe ciągi z \(\{1,2,3,4,5,6\}\). \(|\Omega| = 6^3 = 216\).
Zdarzenie \(A\): suma oczek równa \(16\). Musimy znaleźć wszystkie trójki \((a,b,c)\) z \(a+b+c=16\), gdzie każda liczba z \(\{1,\ldots,6\}\).
Maksymalna suma \(=18=6+6+6\). Dla sumy \(16\) możliwe układy liczb (bez kolejności):
- \(\{6,6,4\}\) (permutacje: \(3\) - która z 3 pozycji to 4): \((6,6,4), (6,4,6), (4,6,6)\),
- \(\{6,5,5\}\) (permutacje: \(3\)): \((5,5,6), (5,6,5), (6,5,5)\).
Razem \(|A| = 6\) zdarzeń elementarnych.
\[P(A) = \dfrac{6}{216} = \dfrac{1}{36}.\]

### Sposób 2 - Drzewo probabilistyczne
Narysuj drzewo z gałęziami: I rzut \(\in\{4,5,6\}\), II i III rzut dopełniają do \(16\). Każde zdarzenie elementarne ma prawdopodobieństwo \((\tfrac{1}{6})^3 = \tfrac{1}{216}\). Liczba gałęzi: \(6\). \(P = 6\cdot\tfrac{1}{216} = \tfrac{1}{36}\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 p.** za zapisanie \(|\Omega|=216\) lub wypisanie zdarzeń sprzyjających.
- **2 p.** za \(P(A) = \tfrac{1}{36}\).
- **0 p.** jeśli \(P(A) > 1\) lub \(P(A) < 0\).
- **2 p.** za \(|A|=6, |\Omega|=216, P(A)=\tfrac{6}{216}\).

**Trik:** dla dużych sum rozważ trójki blisko maksimum \((6,6,6)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/11) — Zadanie 11. (5 pkt) Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A - na każdej kostce wypadnie nie
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-4) Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarni
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający za

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_