# Matematyka — zadanie 32 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/32 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 5 - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 32. (0-5) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60° . Oblicz objętość tego ostrosłupa. 3 : 4 A B C D S O MMA_1P Odpowiedź MMA_1P Rozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(V = 2160\sqrt{3}\) ## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z kąta i przekątnej **Krok 1: Znajdź boki prostokąta.** Niech boki prostokąta mają długości \(3k\) i \(4k\). Z warunku pola: \[3k \cdot 4k = 432\] \[12k^2 = 432\] \[k^2 = 36 \implies k = 6\] Zatem boki prostokąta to: \[a = 3 \cdot 6 = 18, \quad b = 4 \cdot 6 = 24\] **Krok 2: Wyznacz długość \(|AO|\).** Przekątna prostokąta \(|AC|\): \[|AC| = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\] Przekątne prostokąta przecinają się w połowie, więc: \[|AO| = \frac{|AC|}{2} = 15\] **Krok 3: Wyznacz wysokość \(|SO|\) z kąta \(\angle SAO = 60°\).** W trójkącie \(SAO\) kąt przy \(O\) jest prosty (bo \(SO\) jest wysokością ostrosłupa, czyli \(SO \perp\) podstawa, a zatem \(SO \perp AO\)). Mamy: \[\operatorname{tg}(\angle SAO) = \frac{|SO|}{|AO|}\] \[\operatorname{tg} 60° = \frac{|SO|}{15}\] \[|SO| = 15 \cdot \sqrt{3} = 15\sqrt{3}\] **Krok 4: Oblicz objętość ostrosłupa.** \[V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 15\sqrt{3} = \frac{6480\sqrt{3}}{3}\] \[\boxed{V = 2160\sqrt{3}}\] ## Sposób 2 - Wyznaczenie boków z układu równań, weryfikacja kąta **Wyznaczenie boków inaczej.** Niech krótszy bok \(= a\), dłuższy \(= b\). Z warunków: \[\begin{cases} \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \\ a \cdot b = 432 \end{cases}\] Z pierwszego równania: \(a = \frac{3}{4}b\). Podstawiamy: \[\frac{3}{4}b \cdot b = 432 \implies b^2 = 576 \implies b = 24, \quad a = 18\] **Dalej identycznie:** przekątna \(= 30\), \(|AO| = 15\), \(h = 15\sqrt{3}\), \(V = 2160\sqrt{3}\). **Weryfikacja kąta:** sprawdzamy, czy \(\operatorname{tg}(\angle SAO) = \frac{15\sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}\), co odpowiada \(60°\). ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość ostrosłupa: \[V = \frac{1}{3} P_p \cdot h\] Użyte w Kroku 4 do obliczenia objętości. **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa i wartości kątów: \[\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\] Użyte w Kroku 3 do wyznaczenia wysokości \(|SO|\). **Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Pitagorasa, s. 15):** \[|AC| = \sqrt{a^2 + b^2}\] Użyte w Kroku 2 do obliczenia przekątnej prostokąta. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\angle SAO\) to kąt **przy wierzchołku \(A\)** w trójkącie \(SAO\), a nie kąt przy \(S\) ani kąt między \(SO\) a podstawą. Pomylenie tych kątów daje błędną wysokość. > ⚠️ **Uwaga:** \(|AO|\) to **połowa** przekątnej prostokąta (nie cała przekątna). To częsty błąd - warto zaznaczyć to wyraźnie na rysunku. > ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu przekątnej prostokąta \(18^2 = 324\) i \(24^2 = 576\) - warto pamiętać, że \(18{:}24{:}30 = 3{:}4{:}5\), co jest pitagorejską trójką skalowaną przez 6. Pozwala to szybko odczytać wynik bez żmudnego liczenia. **Odpowiedź:** \(V = 2160\sqrt{3}\). ### Sposób 1 - Układ równań z pola i stosunku (karta wzorów) Niech \(a, b\) - boki prostokąta, \(H\) - wysokość ostrosłupa. Układ: \(a\cdot b = 432\), \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}\). Z drugiego: \(b = \tfrac{3}{4}a\). Podstawiamy: \(\tfrac{3}{4}a^2 = 432 \Rightarrow a^2 = 576 \Rightarrow a = 24\), \(b = 18\). Przekątna: \(d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{576+324} = \sqrt{900} = 30\). Krawędź boczna nachylona do podstawy pod kątem \(60°\) (kąt \(SAO = 60°\)), gdzie \(|AO| = \tfrac{d}{2} = 15\). Trójkąt \(SAO\) ma kąt \(60°\) przy \(A\), więc skoro \(\angle SOA = 90°\): kąt \(\angle ASO = 30°\) - trójkąt \(30°-60°-90°\). W takim trójkącie naprzeciw \(60°\) jest \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od najkrótszej. Alternatywnie: każda krawędź boczna tworzy kąt \(60°\) z podstawą \(\Rightarrow\) trójkąt \(ACS\) równoboczny (\(|AS|=|CS|\) i kąty \(60°\) przy podstawie). Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(30\): \(H = \tfrac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\). Objętość: \(V = \tfrac{1}{3}\cdot P_{ABCD}\cdot H = \tfrac{1}{3}\cdot 432\cdot 15\sqrt{3} = 144\cdot 15\sqrt{3} = 2160\sqrt{3}\). ### Sposób 2 - Trygonometria bezpośrednio W trójkącie prostokątnym \(SAO\) (prosty w \(O\)): \(\tan 60° = \dfrac{H}{|AO|}\). \(\tan 60° = \sqrt{3}\). \(|AO| = 15\). Stąd \(H = 15\sqrt{3}\). \(V = \tfrac{1}{3}\cdot 432\cdot 15\sqrt{3} = 2160\sqrt{3}\). ### Uwagi o punktacji (CKE) - **1 p.** za układ równań \(ab=432, b/a=3/4\) lub za zapis \(3x, 4x\). - **2 p.** za istotny postęp (układ równań z niewiadomymi \(a, b\)). - **3 p.** za obliczenie \(a=24, b=18, d=30\). - **4 p.** za \(H = 15\sqrt{3}\). - **5 p.** za \(V = 2160\sqrt{3}\). - **0 p.** jeśli zakłada \(a=3, b=4\) (bez uwzględnienia pola). **Trik:** stosunek \(3:4\) oznacza \(b = \tfrac{3}{4}a\), niekoniecznie \(a=3, b=4\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/32) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F32) ## Podobne zadania - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (6 pkt) Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 378 . π Oblicz objętość walca. 10 Ar - [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 1 - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest n - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-5) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy . Przekątne podstawy ABCD prz _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_