# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Optymalizacja i rachunek różniczkowy

## Treść

Zadanie 33. (0-4)
Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek
. Wyznacz takie wartości x i z, dla których
wyrażenie
przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
2
1
x
z
2
2
7
x
z
xz

MMA_1P
Odpowiedź:

MMA_1P
A
C
B
Rozwiązanie zadania. Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x² + y² + 7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

Największa wartość wyrażenia \(x^2 + z^2 + 7xz\) wynosi \(\dfrac{5}{4}\) i jest przyjmowana dla \(x = \dfrac{1}{6}\), \(z = \dfrac{2}{3}\).

## Sposób 1 - Podstawienie i optymalizacja funkcji jednej zmiennej

**Krok 1: Wyrażamy \(z\) z warunki.**

Z \(2x + z = 1\) mamy:
\[z = 1 - 2x\]

**Krok 2: Podstawiamy do wyrażenia.**

\[W(x) = x^2 + z^2 + 7xz = x^2 + (1-2x)^2 + 7x(1-2x)\]

Rozwijamy każdy składnik:
\[(1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2\]
\[7x(1-2x) = 7x - 14x^2\]

Stąd:
\[W(x) = x^2 + 1 - 4x + 4x^2 + 7x - 14x^2\]
\[W(x) = (1 + 4 - 14)x^2 + (-4 + 7)x + 1\]
\[\boxed{W(x) = -9x^2 + 3x + 1}\]

**Krok 3: Szukamy maksimum funkcji kwadratowej.**

Ponieważ \(a = -9 < 0\), parabola jest zwrócona ramionami w dół - **funkcja ma maksimum** w wierzchołku.

\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-9)} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\]

**Krok 4: Wyznaczamy wartość maksymalną.**

\[W\!\left(\frac{1}{6}\right) = -9 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \mathbf{\frac{5}{4}}\]

**Krok 5: Wyznaczamy odpowiadające wartości \(x\) i \(z\).**

\[x = \frac{1}{6}, \qquad z = 1 - 2 \cdot \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

**Odpowiedź:** Wyrażenie \(x^2 + z^2 + 7xz\) przyjmuje największą wartość \(\dfrac{5}{4}\) dla \(x = \dfrac{1}{6}\), \(z = \dfrac{2}{3}\).

## Sposób 2 - Uzupełnianie do pełnego kwadratu

Po podstawieniu \(z = 1-2x\) otrzymaliśmy \(W(x) = -9x^2 + 3x + 1\). Uzupełniamy do pełnego kwadratu bez użycia wzoru na wierzchołek:

**Wyciągamy \(-9\) przed nawias:**

\[W(x) = -9\!\left(x^2 - \frac{1}{3}x\right) + 1\]

**Uzupełniamy kwadrat** - dodajemy i odejmujemy \(\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{36}\):

\[W(x) = -9\!\left(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} - \frac{1}{36}\right) + 1\]

\[W(x) = -9\!\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + 9 \cdot \frac{1}{36} + 1\]

\[W(x) = -9\!\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{4} + 1\]

\[W(x) = -9\!\left(x - \frac{1}{6}\right)^2 + \frac{5}{4}\]

Ponieważ \(-9\!\left(x-\frac{1}{6}\right)^2 \leq 0\) dla każdego \(x\), wyrażenie osiąga **maksimum** gdy \(x = \frac{1}{6}\) i ten człon wynosi \(0\):

\[W_{\max} = \frac{5}{4}\]

**Weryfikacja przez podstawienie** \(x = \frac{1}{6}\), \(z = \frac{2}{3}\):

\[x^2 + z^2 + 7xz = \frac{1}{36} + \frac{4}{9} + 7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{36} + \frac{16}{36} + \frac{28}{36} = \frac{45}{36} = \frac{5}{4} \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:
\[p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a}\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do znalezienia \(x\) dającego maksimum funkcji \(W(x) = -9x^2 + 3x + 1\).

Dodatkowo korzystamy z faktu: gdy \(a < 0\), funkcja kwadratowa ma **maksimum** w wierzchołku. Gdy \(a > 0\) - minimum.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Piszemy "największa wartość" - musimy sprawdzić znak \(a\) w trójmianie kwadratowym. Tutaj \(a = -9 < 0\), więc funkcja ma **maksimum** (nie minimum!). Gdyby \(a > 0\), pytanie o "największą wartość" nie miałoby sensu (funkcja byłaby nieograniczona z góry - błąd w treści, nie u nas).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić przy rozwinięciu \((1-2x)^2\) - pamiętaj: \((1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2\), a nie \(1 - 2x^2\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj wyznaczyć wartości \(z\) z powrotem - zadanie pyta o wartości **obu** zmiennych, nie tylko \(x\). Podstaw \(x = \frac{1}{6}\) do \(z = 1 - 2x\).

**Odpowiedź:** dla \(x = \dfrac{1}{6}\), \(z = \dfrac{2}{3}\) wyrażenie osiąga największą wartość \(\dfrac{5}{4}\).

### Sposób 1 - Redukcja do jednej zmiennej (karta wzorów)
Z warunku: \(z = 1 - 2x\).
\(x^2 + z^2 + 7xz = x^2 + (1-2x)^2 + 7x(1-2x) = x^2 + 1 - 4x + 4x^2 + 7x - 14x^2 = -9x^2 + 3x + 1\).
Funkcja kwadratowa \(f(x) = -9x^2 + 3x + 1\), ramiona w dół. Wierzchołek:
\[x_w = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2\cdot(-9)} = \dfrac{1}{6}.\]
Wartość maksymalna:
\[f(\tfrac{1}{6}) = -9\cdot\tfrac{1}{36} + 3\cdot\tfrac{1}{6} + 1 = -\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{5}{4}.\]
Wtedy \(z = 1 - 2\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{3}\).

### Sposób 2 - Wierzchołek z wzoru \(q = \tfrac{-\Delta}{4a}\)
\(\Delta = 9 + 36 = 45\). \(q = \tfrac{-45}{-36} = \tfrac{5}{4}\). Wartość max: \(\tfrac{5}{4}\) przy \(x = \tfrac{1}{6}\).

### Uwagi o punktacji (CKE)
- **1 p.** za sprowadzenie do jednej zmiennej.
- **2 p.** za postać trójmianu \(-9x^2+3x+1\).
- **3 p.** za obliczenie obu współrzędnych wierzchołka paraboli.
- **4 p.** za pełną odpowiedź z \(x, z, \text{max}\).
- **0 p.** za podanie tylko odpowiedzi bez uzasadnienia.

**Trik:** warunek liniowy \(z = f(x)\) pozwala zredukować problem do jednej zmiennej.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-193%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm k
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest r
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Dana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥3+𝑘 𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0. Oblicz wartość 𝑘, dla której prosta o równaniu 𝑦= -𝑥 jes
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/1) — Zadanie 1. (5 pkt) Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające po

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_